MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpmnd Unicode version

Theorem grpmnd 14494
Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
grpmnd  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )

Proof of Theorem grpmnd
Dummy variables  m  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2283 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
41, 2, 3isgrp 14493 . 2  |-  ( G  e.  Grp  <->  ( G  e.  Mnd  /\  A. a  e.  ( Base `  G
) E. m  e.  ( Base `  G
) ( m ( +g  `  G ) a )  =  ( 0g `  G ) ) )
54simplbi 446 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362
This theorem is referenced by:  grpcl  14495  grpass  14496  grpideu  14498  grpplusf  14499  grpidcl  14510  grplid  14512  grprid  14513  mulgz  14588  mulgdirlem  14591  mulgneg2  14594  mulgass  14597  prdsgrpd  14604  prdsinvgd  14605  issubg3  14637  subgacs  14652  ghmmhm  14693  0ghm  14697  pwsdiagghm  14710  cntzsubg  14812  oppggrp  14830  lsmass  14979  lsmcntzr  14989  pj1ghm  15012  frgpmhm  15074  frgpuplem  15081  frgpupf  15082  frgpup1  15084  isabl2  15097  isabld  15102  gsumzinv  15217  dprdssv  15251  dprdfid  15252  dprdfadd  15255  dprdfeq0  15257  dprdlub  15261  dmdprdsplitlem  15272  dprddisj2  15274  dpjidcl  15293  pgpfac1lem3a  15311  pgpfaclem3  15318  rngmnd  15350  unitabl  15450  unitsubm  15452  istgp2  17774  symgtgp  17784  clmmulg  18591  dchrptlem3  20505  symgfo  25368  pwssplit4  27191  pwslnmlem2  27195  dsmmsubg  27209  frlm0  27222  gicabl  27263  symggen  27411  symgtrinv  27413  psgnunilem5  27417  psgnunilem2  27418  psgnuni  27422  psgneldm2  27427  psgnghm  27437  mendrng  27500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-grp 14489
  Copyright terms: Public domain W3C validator