MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpmnd Structured version   Unicode version

Theorem grpmnd 14819
Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
grpmnd  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )

Proof of Theorem grpmnd
Dummy variables  m  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2438 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
41, 2, 3isgrp 14818 . 2  |-  ( G  e.  Grp  <->  ( G  e.  Mnd  /\  A. a  e.  ( Base `  G
) E. m  e.  ( Base `  G
) ( m ( +g  `  G ) a )  =  ( 0g `  G ) ) )
54simplbi 448 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   0gc0g 13725   Mndcmnd 14686   Grpcgrp 14687
This theorem is referenced by:  grpcl  14820  grpass  14821  grpideu  14823  grpplusf  14824  grpidcl  14835  grplid  14837  grprid  14838  mulgz  14913  mulgdirlem  14916  mulgneg2  14919  mulgass  14922  prdsgrpd  14929  prdsinvgd  14930  issubg3  14962  subgacs  14977  ghmmhm  15018  0ghm  15022  pwsdiagghm  15035  cntzsubg  15137  oppggrp  15155  lsmass  15304  lsmcntzr  15314  pj1ghm  15337  frgpmhm  15399  frgpuplem  15406  frgpupf  15407  frgpup1  15409  isabl2  15422  isabld  15427  gsumzinv  15542  dprdssv  15576  dprdfid  15577  dprdfadd  15580  dprdfeq0  15582  dprdlub  15586  dmdprdsplitlem  15597  dprddisj2  15599  dpjidcl  15618  pgpfac1lem3a  15636  pgpfaclem3  15643  rngmnd  15675  unitabl  15775  unitsubm  15777  istgp2  18123  symgtgp  18133  clmmulg  19120  dchrptlem3  21052  ofldchr  24246  pwssplit4  27170  pwslnmlem2  27174  dsmmsubg  27188  frlm0  27201  gicabl  27242  symggen  27390  symgtrinv  27392  psgnunilem5  27396  psgnunilem2  27397  psgnuni  27401  psgneldm2  27406  psgnghm  27416  mendrng  27479
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-iota 5420  df-fv 5464  df-ov 6086  df-grp 14814
  Copyright terms: Public domain W3C validator