Theorem grpn0 8043

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpfo.1	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
grpn0	|- (G e. Grp -> X =/= (/))

Proof of Theorem grpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpfo.1	. . 3 |- X = ran G
2	1	grplidinv 8042	. 2 |- (G e. Grp -> E.u e. X A.x e. X ((uGx) = x /\ E.y e. X (yGx) = u))
3		rexn0 2360	. 2 |- (E.u e. X A.x e. X ((uGx) = x /\ E.y e. X (yGx) = u) -> X =/= (/))
4	2, 3	syl 10	1 |- (G e. Grp -> X =/= (/))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  A.wral 1648  E.wrex 1649  (/)c0 2283  ran crn 3177  (class class class)co 3969  Grpcgr 8030

This theorem is referenced by:  0ngrp 8052  vcoprnelem 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-grp 8034

Copyright terms: Public domain