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Theorem grpnnncan2 14811
Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan2 9270 analog.) (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpnnncan2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpnnncan2.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpnnncan2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .-  Y
) )

Proof of Theorem grpnnncan2
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
2 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
3 simpr3 965 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
4 grpnnncan2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpnnncan2.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
64, 5grpsubcl 14796 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .-  Z
)  e.  B )
763adant3r1 1162 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .-  Z )  e.  B )
8 eqid 2387 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
94, 8, 5grpsubsub4 14808 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( Y  .-  Z
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .-  Z )  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X 
.-  ( ( Y 
.-  Z ) ( +g  `  G ) Z ) ) )
101, 2, 3, 7, 9syl13anc 1186 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .-  (
( Y  .-  Z
) ( +g  `  G
) Z ) ) )
114, 8, 5grpnpcan 14807 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( Y  .-  Z ) ( +g  `  G ) Z )  =  Y )
12113adant3r1 1162 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y  .-  Z
) ( +g  `  G
) Z )  =  Y )
1312oveq2d 6036 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .-  ( ( Y 
.-  Z ) ( +g  `  G ) Z ) )  =  ( X  .-  Y
) )
1410, 13eqtrd 2419 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .-  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   Grpcgrp 14612   -gcsg 14615
This theorem is referenced by:  2idlcpbl  16232  nrmmetd  18493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741
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