Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grpodlcan Unicode version

Theorem grpodlcan 25376
Description: Left cancellation law for group "subtraction" (or "division"). (Contributed by FL, 14-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
grpdrcan.1  |-  X  =  ran  G
grpdrcan.2  |-  D  =  (  /g  `  G
)
Assertion
Ref Expression
grpodlcan  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( C D A )  =  ( C D B )  <->  A  =  B
) )

Proof of Theorem grpodlcan
StepHypRef Expression
1 grpdrcan.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ran  G
2 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
3 grpdrcan.2 . . . . . . . . 9  |-  D  =  (  /g  `  G
)
41, 2, 3grpodivval 20910 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  A )
) )
543exp 1150 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( C  e.  X  ->  ( A  e.  X  ->  ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  A )
) ) ) )
65com13 74 . . . . . 6  |-  ( A  e.  X  ->  ( C  e.  X  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  A )
) ) ) )
76imp 418 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) ) ) )
873adant2 974 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) ) ) )
98impcom 419 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 A ) ) )
101, 2, 3grpodivval 20910 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  B )
) )
11103exp 1150 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( C  e.  X  ->  ( B  e.  X  ->  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  B )
) ) ) )
1211com13 74 . . . . . 6  |-  ( B  e.  X  ->  ( C  e.  X  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  B )
) ) ) )
1312imp 418 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  B
) ) ) )
14133adant1 973 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  B
) ) ) )
1514impcom 419 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )
169, 15jca 518 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  A )
)  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) )
17 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  G  e.  GrpOp
)
181, 2grpoinvcl 20893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  A )  e.  X )
19183ad2antr1 1120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( inv `  G ) `  A )  e.  X
)
201, 2grpoinvcl 20893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X )
21203ad2antr2 1121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( inv `  G ) `  B )  e.  X
)
22 simpr3 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  C  e.  X )
2319, 21, 223jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( (
( inv `  G
) `  A )  e.  X  /\  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X  /\  C  e.  X ) )
2417, 23jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( (
( inv `  G
) `  A )  e.  X  /\  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )
2524adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 A ) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )  ->  ( G  e. 
GrpOp  /\  ( ( ( inv `  G ) `
 A )  e.  X  /\  ( ( inv `  G ) `
 B )  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )
261grpolcan 20900 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( ( inv `  G
) `  A )  e.  X  /\  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( C G ( ( inv `  G
) `  A )
)  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  B
) )  <->  ( ( inv `  G ) `  A )  =  ( ( inv `  G
) `  B )
) )
2725, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 A ) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )  ->  ( ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  <-> 
( ( inv `  G
) `  A )  =  ( ( inv `  G ) `  B
) ) )
281, 2grpoinvf 20907 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( inv `  G ) : X -1-1-onto-> X
)
29 f1of1 5471 . . . . . . . 8  |-  ( ( inv `  G ) : X -1-1-onto-> X  ->  ( inv `  G ) : X -1-1-> X )
3028, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( inv `  G ) : X -1-1-> X )
3130ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 A ) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )  ->  ( inv `  G
) : X -1-1-> X
)
32 3simpa 952 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )
3332ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 A ) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )
34 f1fveq 5786 . . . . . 6  |-  ( ( ( inv `  G
) : X -1-1-> X  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( ( inv `  G
) `  A )  =  ( ( inv `  G ) `  B
)  <->  A  =  B
) )
3531, 33, 34syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 A ) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( inv `  G ) `
 A )  =  ( ( inv `  G
) `  B )  <->  A  =  B ) )
3627, 35bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 A ) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )  ->  ( ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  <-> 
A  =  B ) )
3736ex 423 . . 3  |-  ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  ->  (
( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( C G ( ( inv `  G
) `  A )
)  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  B
) )  <->  A  =  B ) ) )
38 eqeq12 2295 . . . 4  |-  ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  ->  (
( C D A )  =  ( C D B )  <->  ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) )
3938bibi1d 310 . . 3  |-  ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  ->  (
( ( C D A )  =  ( C D B )  <-> 
A  =  B )  <-> 
( ( C G ( ( inv `  G
) `  A )
)  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  B
) )  <->  A  =  B ) ) )
4037, 39sylibrd 225 . 2  |-  ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  ->  (
( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( C D A )  =  ( C D B )  <->  A  =  B ) ) )
4116, 40mpcom 32 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( C D A )  =  ( C D B )  <->  A  =  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ran crn 4690   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   GrpOpcgr 20853   invcgn 20855    /g cgs 20856
This theorem is referenced by:  vecslcan  25470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861
  Copyright terms: Public domain W3C validator