Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grpodlcan Unicode version

Theorem grpodlcan 25479
 Description: Left cancellation law for group "subtraction" (or "division"). (Contributed by FL, 14-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
grpdrcan.1
grpdrcan.2
Assertion
Ref Expression
grpodlcan

Proof of Theorem grpodlcan
StepHypRef Expression
1 grpdrcan.1 . . . . . . . . 9
2 eqid 2296 . . . . . . . . 9
3 grpdrcan.2 . . . . . . . . 9
41, 2, 3grpodivval 20926 . . . . . . . 8
543exp 1150 . . . . . . 7
65com13 74 . . . . . 6
76imp 418 . . . . 5
873adant2 974 . . . 4
98impcom 419 . . 3
101, 2, 3grpodivval 20926 . . . . . . . 8
11103exp 1150 . . . . . . 7
1211com13 74 . . . . . 6
1312imp 418 . . . . 5
14133adant1 973 . . . 4
1514impcom 419 . . 3
169, 15jca 518 . 2
17 simpl 443 . . . . . . . 8
181, 2grpoinvcl 20909 . . . . . . . . . 10
19183ad2antr1 1120 . . . . . . . . 9
201, 2grpoinvcl 20909 . . . . . . . . . 10
21203ad2antr2 1121 . . . . . . . . 9
22 simpr3 963 . . . . . . . . 9
2319, 21, 223jca 1132 . . . . . . . 8
2417, 23jca 518 . . . . . . 7
2524adantl 452 . . . . . 6
261grpolcan 20916 . . . . . 6
2725, 26syl 15 . . . . 5
281, 2grpoinvf 20923 . . . . . . . 8
29 f1of1 5487 . . . . . . . 8
3028, 29syl 15 . . . . . . 7
3130ad2antrl 708 . . . . . 6
32 3simpa 952 . . . . . . 7
3332ad2antll 709 . . . . . 6
34 f1fveq 5802 . . . . . 6
3531, 33, 34syl2anc 642 . . . . 5
3627, 35bitrd 244 . . . 4
3736ex 423 . . 3
38 eqeq12 2308 . . . 4
3938bibi1d 310 . . 3
4037, 39sylibrd 225 . 2
4116, 40mpcom 32 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   crn 4706  wf1 5268  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874  cgr 20869  cgn 20871   cgs 20872 This theorem is referenced by:  vecslcan  25573 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877
 Copyright terms: Public domain W3C validator