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Theorem grpodlcan 25479
Description: Left cancellation law for group "subtraction" (or "division"). (Contributed by FL, 14-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
grpdrcan.1  |-  X  =  ran  G
grpdrcan.2  |-  D  =  (  /g  `  G
)
Assertion
Ref Expression
grpodlcan  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( C D A )  =  ( C D B )  <->  A  =  B
) )

Proof of Theorem grpodlcan
StepHypRef Expression
1 grpdrcan.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ran  G
2 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
3 grpdrcan.2 . . . . . . . . 9  |-  D  =  (  /g  `  G
)
41, 2, 3grpodivval 20926 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  A )
) )
543exp 1150 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( C  e.  X  ->  ( A  e.  X  ->  ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  A )
) ) ) )
65com13 74 . . . . . 6  |-  ( A  e.  X  ->  ( C  e.  X  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  A )
) ) ) )
76imp 418 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) ) ) )
873adant2 974 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) ) ) )
98impcom 419 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 A ) ) )
101, 2, 3grpodivval 20926 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  B )
) )
11103exp 1150 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( C  e.  X  ->  ( B  e.  X  ->  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  B )
) ) ) )
1211com13 74 . . . . . 6  |-  ( B  e.  X  ->  ( C  e.  X  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  B )
) ) ) )
1312imp 418 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  B
) ) ) )
14133adant1 973 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  B
) ) ) )
1514impcom 419 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )
169, 15jca 518 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  A )
)  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) )
17 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  G  e.  GrpOp
)
181, 2grpoinvcl 20909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  A )  e.  X )
19183ad2antr1 1120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( inv `  G ) `  A )  e.  X
)
201, 2grpoinvcl 20909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X )
21203ad2antr2 1121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( inv `  G ) `  B )  e.  X
)
22 simpr3 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  C  e.  X )
2319, 21, 223jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( (
( inv `  G
) `  A )  e.  X  /\  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X  /\  C  e.  X ) )
2417, 23jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( (
( inv `  G
) `  A )  e.  X  /\  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )
2524adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 A ) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )  ->  ( G  e. 
GrpOp  /\  ( ( ( inv `  G ) `
 A )  e.  X  /\  ( ( inv `  G ) `
 B )  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )
261grpolcan 20916 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( ( inv `  G
) `  A )  e.  X  /\  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( C G ( ( inv `  G
) `  A )
)  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  B
) )  <->  ( ( inv `  G ) `  A )  =  ( ( inv `  G
) `  B )
) )
2725, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 A ) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )  ->  ( ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  <-> 
( ( inv `  G
) `  A )  =  ( ( inv `  G ) `  B
) ) )
281, 2grpoinvf 20923 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( inv `  G ) : X -1-1-onto-> X
)
29 f1of1 5487 . . . . . . . 8  |-  ( ( inv `  G ) : X -1-1-onto-> X  ->  ( inv `  G ) : X -1-1-> X )
3028, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( inv `  G ) : X -1-1-> X )
3130ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 A ) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )  ->  ( inv `  G
) : X -1-1-> X
)
32 3simpa 952 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )
3332ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 A ) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )
34 f1fveq 5802 . . . . . 6  |-  ( ( ( inv `  G
) : X -1-1-> X  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( ( inv `  G
) `  A )  =  ( ( inv `  G ) `  B
)  <->  A  =  B
) )
3531, 33, 34syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 A ) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( inv `  G ) `
 A )  =  ( ( inv `  G
) `  B )  <->  A  =  B ) )
3627, 35bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 A ) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )  ->  ( ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  <-> 
A  =  B ) )
3736ex 423 . . 3  |-  ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  ->  (
( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( C G ( ( inv `  G
) `  A )
)  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  B
) )  <->  A  =  B ) ) )
38 eqeq12 2308 . . . 4  |-  ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  ->  (
( C D A )  =  ( C D B )  <->  ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) )
3938bibi1d 310 . . 3  |-  ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  ->  (
( ( C D A )  =  ( C D B )  <-> 
A  =  B )  <-> 
( ( C G ( ( inv `  G
) `  A )
)  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  B
) )  <->  A  =  B ) ) )
4037, 39sylibrd 225 . 2  |-  ( ( ( C D A )  =  ( C G ( ( inv `  G ) `  A
) )  /\  ( C D B )  =  ( C G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  ->  (
( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( C D A )  =  ( C D B )  <->  A  =  B ) ) )
4116, 40mpcom 32 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( C D A )  =  ( C D B )  <->  A  =  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ran crn 4706   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   GrpOpcgr 20869   invcgn 20871    /g cgs 20872
This theorem is referenced by:  vecslcan  25573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877
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