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Theorem grpoidinv 21646
Description: A group has a left and right identity element, and every member has a left and right inverse. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpfo.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
grpoidinv  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, u, G    u, X, x, y

Proof of Theorem grpoidinv
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpfo.1 . . 3  |-  X  =  ran  G
21grpolidinv 21639 . 2  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E. u  e.  X  A. z  e.  X  ( (
u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  (
w G z )  =  u ) )
3 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  -> 
( u G z )  =  z )
43ralimi 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  X  (
( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  ->  A. z  e.  X  ( u G z )  =  z )
5 oveq2 6030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
u G z )  =  ( u G x ) )
6 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
75, 6eqeq12d 2403 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
( u G z )  =  z  <->  ( u G x )  =  x ) )
87rspccva 2996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  X  ( u G z )  =  z  /\  x  e.  X )  ->  ( u G x )  =  x )
94, 8sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  /\  x  e.  X )  ->  (
u G x )  =  x )
109adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) )  /\  x  e.  X )  ->  (
u G x )  =  x )
1110adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( u G x )  =  x )
12 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  ->  G  e.  GrpOp
)
1312anim1i 552 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X ) )
14 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X ) )
1514adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X ) )
1615adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X ) )
174adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) )  ->  A. z  e.  X  ( u G z )  =  z )
1817ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( u G z )  =  z )
19 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  ->  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
2019ralimi 2726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  X  (
( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
2120adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
2221ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
2316, 18, 22jca32 522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  ( A. z  e.  X  (
u G z )  =  z  /\  A. z  e.  X  E. w  e.  X  (
w G z )  =  u ) ) )
24 biid 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  X  (
u G z )  =  z  <->  A. z  e.  X  ( u G z )  =  z )
25 biid 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  X  E. w  e.  X  (
w G z )  =  u  <->  A. z  e.  X  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
261, 24, 25grpoidinvlem3 21644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  ( A. z  e.  X  (
u G z )  =  z  /\  A. z  e.  X  E. w  e.  X  (
w G z )  =  u ) )  /\  x  e.  X
)  ->  E. y  e.  X  ( (
y G x )  =  u  /\  (
x G y )  =  u ) )
2723, 26sylancom 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) )
281grpoidinvlem4 21645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) )  -> 
( x G u )  =  ( u G x ) )
2913, 27, 28syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( x G u )  =  ( u G x ) )
3029, 11eqtrd 2421 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( x G u )  =  x )
3111, 30, 27jca31 521 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  (
( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) )
3231ralrimiva 2734 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( (
( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) )
3332exp32 589 . . 3  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( u  e.  X  ->  ( A. z  e.  X  (
( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  ->  A. x  e.  X  ( ( ( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  (
( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) ) ) )
3433reximdvai 2761 . 2  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( E. u  e.  X  A. z  e.  X  (
( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( ( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  (
( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) ) )
352, 34mpd 15 1  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652   ran crn 4821  (class class class)co 6022   GrpOpcgr 21624
This theorem is referenced by:  grpoideu  21647  grpoidval  21654  grpoidinv2  21656  grpomndo  21784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-fo 5402  df-fv 5404  df-ov 6025  df-grpo 21629
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