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Theorem grpoidinv 20875
Description: A group has a left and right identity element, and every member has a left and right inverse. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpfo.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
grpoidinv  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, u, G    u, X, x, y

Proof of Theorem grpoidinv
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpfo.1 . . 3  |-  X  =  ran  G
21grpolidinv 20868 . 2  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E. u  e.  X  A. z  e.  X  ( (
u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  (
w G z )  =  u ) )
3 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  -> 
( u G z )  =  z )
43ralimi 2618 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  X  (
( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  ->  A. z  e.  X  ( u G z )  =  z )
5 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
u G z )  =  ( u G x ) )
6 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
75, 6eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
( u G z )  =  z  <->  ( u G x )  =  x ) )
87rspccva 2883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  X  ( u G z )  =  z  /\  x  e.  X )  ->  ( u G x )  =  x )
94, 8sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  /\  x  e.  X )  ->  (
u G x )  =  x )
109adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) )  /\  x  e.  X )  ->  (
u G x )  =  x )
1110adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( u G x )  =  x )
12 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  ->  G  e.  GrpOp
)
1312anim1i 551 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X ) )
14 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X ) )
1514adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X ) )
1615adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X ) )
174adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) )  ->  A. z  e.  X  ( u G z )  =  z )
1817ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( u G z )  =  z )
19 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  ->  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
2019ralimi 2618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  X  (
( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
2120adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
2221ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
2316, 18, 22jca32 521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  ( A. z  e.  X  (
u G z )  =  z  /\  A. z  e.  X  E. w  e.  X  (
w G z )  =  u ) ) )
24 biid 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  X  (
u G z )  =  z  <->  A. z  e.  X  ( u G z )  =  z )
25 biid 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  X  E. w  e.  X  (
w G z )  =  u  <->  A. z  e.  X  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
261, 24, 25grpoidinvlem3 20873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  ( A. z  e.  X  (
u G z )  =  z  /\  A. z  e.  X  E. w  e.  X  (
w G z )  =  u ) )  /\  x  e.  X
)  ->  E. y  e.  X  ( (
y G x )  =  u  /\  (
x G y )  =  u ) )
2723, 26sylancom 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) )
281grpoidinvlem4 20874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) )  -> 
( x G u )  =  ( u G x ) )
2913, 27, 28syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( x G u )  =  ( u G x ) )
3029, 11eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( x G u )  =  x )
3111, 30, 27jca31 520 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  (
( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) )
3231ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( (
( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) )
3332exp32 588 . . 3  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( u  e.  X  ->  ( A. z  e.  X  (
( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  ->  A. x  e.  X  ( ( ( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  (
( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) ) ) )
3433reximdvai 2653 . 2  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( E. u  e.  X  A. z  e.  X  (
( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( ( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  (
( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) ) )
352, 34mpd 14 1  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   ran crn 4690  (class class class)co 5858   GrpOpcgr 20853
This theorem is referenced by:  grpoideu  20876  grpoidval  20883  grpoidinv2  20885  grpomndo  21013
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-ov 5861  df-grpo 20858
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