MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpoidinvlem3 Unicode version

Theorem grpoidinvlem3 20873
Description: Lemma for grpoidinv 20875. (Contributed by NM, 11-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
grpfo.1  |-  X  =  ran  G
grpidinvlem3.2  |-  ( ph  <->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
grpidinvlem3.3  |-  ( ps  <->  A. x  e.  X  E. z  e.  X  (
z G x )  =  U )
Assertion
Ref Expression
grpoidinvlem3  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\ 
ps ) )  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( ( y G A )  =  U  /\  ( A G y )  =  U ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, G, y, z    x, X, y, z    y, U, x, z    ph, y    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    ps( x, z)

Proof of Theorem grpoidinvlem3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpidinvlem3.3 . . . . . 6  |-  ( ps  <->  A. x  e.  X  E. z  e.  X  (
z G x )  =  U )
2 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z G x )  =  ( y G x ) )
32eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z G x )  =  U  <->  ( y G x )  =  U ) )
43cbvrexv 2765 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  X  ( z G x )  =  U  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U )
54ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  E. z  e.  X  (
z G x )  =  U  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U )
61, 5bitri 240 . . . . 5  |-  ( ps  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  X  (
y G x )  =  U )
7 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
y G x )  =  ( y G A ) )
87eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( y G x )  =  U  <->  ( y G A )  =  U ) )
98rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( E. y  e.  X  ( y G x )  =  U  <->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U ) )
109rspccva 2883 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  X  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U )
116, 10sylanb 458 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U )
1211adantll 694 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  A  e.  X
)  ->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U )
1312adantll 694 . 2  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\ 
ps ) )  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U )
14 grpfo.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ran  G
1514grpocl 20867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A G y )  e.  X )
16153expa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( A G y )  e.  X )
1716adantllr 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( A G y )  e.  X )
1817adantllr 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  ( A G y )  e.  X )
19 grpidinvlem3.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  <->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
2019biimpi 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
2120ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  ->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
2221ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
23 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  ( U G x )  =  ( U G ( A G y ) ) )
24 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  x  =  ( A G y ) )
2523, 24eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  (
( U G x )  =  x  <->  ( U G ( A G y ) )  =  ( A G y ) ) )
2625rspcva 2882 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A G y )  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
2718, 22, 26syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
2827adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
29 pm3.22 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  X  /\  A  e.  X
)  /\  G  e.  GrpOp
)  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( y  e.  X  /\  A  e.  X ) ) )
3029an31s 781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( y  e.  X  /\  A  e.  X ) ) )
3130adantllr 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  (
y  e.  X  /\  A  e.  X )
) )
3231adantllr 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  (
y  e.  X  /\  A  e.  X )
) )
3332adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( G  e.  GrpOp  /\  ( y  e.  X  /\  A  e.  X
) ) )
34 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( U G x )  =  ( U G y ) )
35 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
3634, 35eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( U G x )  =  x  <->  ( U G y )  =  y ) )
3736rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  X  ( U G x )  =  x  /\  y  e.  X )  ->  ( U G y )  =  y )
3819, 37sylanb 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U G y )  =  y )
3938adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  y  e.  X
)  ->  ( U G y )  =  y )
4039adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( U G y )  =  y )
4140adantlll 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  ( U G y )  =  y )
4241anim1i 551 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( ( U G y )  =  y  /\  ( y G A )  =  U ) )
4314grpoidinvlem2 20872 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G y )  =  y  /\  ( y G A )  =  U ) )  ->  ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
4433, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
45153expb 1152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( A G y )  e.  X )
4645ad2ant2rl 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( A G y )  e.  X )
47 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  (
z G x )  =  ( w G x ) )
4847eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
( z G x )  =  U  <->  ( w G x )  =  U ) )
4948cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z  e.  X  ( z G x )  =  U  <->  E. w  e.  X  ( w G x )  =  U )
5049ralbii 2567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  X  E. z  e.  X  (
z G x )  =  U  <->  A. x  e.  X  E. w  e.  X  ( w G x )  =  U )
511, 50bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ps  <->  A. x  e.  X  E. w  e.  X  (
w G x )  =  U )
52 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  (
w G x )  =  ( w G ( A G y ) ) )
5352eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  (
( w G x )  =  U  <->  ( w G ( A G y ) )  =  U ) )
5453rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  ( E. w  e.  X  ( w G x )  =  U  <->  E. w  e.  X  ( w G ( A G y ) )  =  U ) )
5554rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A G y )  e.  X  /\  A. x  e.  X  E. w  e.  X  (
w G x )  =  U )  ->  E. w  e.  X  ( w G ( A G y ) )  =  U )
5651, 55sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A G y )  e.  X  /\  ps )  ->  E. w  e.  X  ( w G ( A G y ) )  =  U )
57 anass 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  w  e.  X )  /\  ( A G y )  e.  X
)  <->  ( G  e. 
GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) )
5857biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  w  e.  X )  /\  ( A G y )  e.  X
)  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) )
5958an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G y )  e.  X )  /\  w  e.  X
)  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) )
6059ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G y )  e.  X )  ->  (
w  e.  X  -> 
( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) ) )
6145, 60syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( w  e.  X  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) ) )
6261ad2ant2rl 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( w  e.  X  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) ) )
6362imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  /\  w  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) )
6414grpoidinvlem1 20871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) )  /\  ( ( w G ( A G y ) )  =  U  /\  (
( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y ) ) )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U )
6563, 64sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )  /\  w  e.  X
)  /\  ( (
w G ( A G y ) )  =  U  /\  (
( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y ) ) )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U )
6665exp43 595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( w  e.  X  ->  ( ( w G ( A G y ) )  =  U  ->  ( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) ) )
6766rexlimdv 2666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( E. w  e.  X  ( w G ( A G y ) )  =  U  ->  ( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) )
6856, 67syl5 28 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( ( ( A G y )  e.  X  /\  ps )  ->  ( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) )
6946, 68mpand 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( ps  ->  (
( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  U ) ) )
7069exp32 588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  ->  ( ph  ->  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ps  ->  ( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) ) ) )
7170com34 77 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  ->  ( ph  ->  ( ps  ->  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) ) ) )
7271imp32 422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) )
7372impl 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  U ) )
7473adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) )
7544, 74mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  U )
7628, 75eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( A G y )  =  U )
7776ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( y G A )  =  U  -> 
( A G y )  =  U ) )
7877ancld 536 . . 3  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( y G A )  =  U  -> 
( ( y G A )  =  U  /\  ( A G y )  =  U ) ) )
7978reximdva 2655 . 2  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\ 
ps ) )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. y  e.  X  ( y G A )  =  U  ->  E. y  e.  X  ( ( y G A )  =  U  /\  ( A G y )  =  U ) ) )
8013, 79mpd 14 1  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\ 
ps ) )  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( ( y G A )  =  U  /\  ( A G y )  =  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   ran crn 4690  (class class class)co 5858   GrpOpcgr 20853
This theorem is referenced by:  grpoidinv  20875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-ov 5861  df-grpo 20858
  Copyright terms: Public domain W3C validator