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Theorem grpoidinvlem3 21643
Description: Lemma for grpoidinv 21645. (Contributed by NM, 11-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
grpfo.1  |-  X  =  ran  G
grpidinvlem3.2  |-  ( ph  <->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
grpidinvlem3.3  |-  ( ps  <->  A. x  e.  X  E. z  e.  X  (
z G x )  =  U )
Assertion
Ref Expression
grpoidinvlem3  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\ 
ps ) )  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( ( y G A )  =  U  /\  ( A G y )  =  U ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, G, y, z    x, X, y, z    y, U, x, z    ph, y    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    ps( x, z)

Proof of Theorem grpoidinvlem3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpidinvlem3.3 . . . . . 6  |-  ( ps  <->  A. x  e.  X  E. z  e.  X  (
z G x )  =  U )
2 oveq1 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z G x )  =  ( y G x ) )
32eqeq1d 2396 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z G x )  =  U  <->  ( y G x )  =  U ) )
43cbvrexv 2877 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  X  ( z G x )  =  U  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U )
54ralbii 2674 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  E. z  e.  X  (
z G x )  =  U  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U )
61, 5bitri 241 . . . . 5  |-  ( ps  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  X  (
y G x )  =  U )
7 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
y G x )  =  ( y G A ) )
87eqeq1d 2396 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( y G x )  =  U  <->  ( y G A )  =  U ) )
98rexbidv 2671 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( E. y  e.  X  ( y G x )  =  U  <->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U ) )
109rspccva 2995 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  X  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U )
116, 10sylanb 459 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U )
1211adantll 695 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  A  e.  X
)  ->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U )
1312adantll 695 . 2  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\ 
ps ) )  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U )
14 grpfo.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ran  G
1514grpocl 21637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A G y )  e.  X )
16153expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( A G y )  e.  X )
1716adantllr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( A G y )  e.  X )
1817adantllr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  ( A G y )  e.  X )
19 grpidinvlem3.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  <->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
2019biimpi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
2120ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  ->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
23 oveq2 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  ( U G x )  =  ( U G ( A G y ) ) )
24 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  x  =  ( A G y ) )
2523, 24eqeq12d 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  (
( U G x )  =  x  <->  ( U G ( A G y ) )  =  ( A G y ) ) )
2625rspcva 2994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A G y )  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
2718, 22, 26syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
2827adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
29 pm3.22 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  X  /\  A  e.  X
)  /\  G  e.  GrpOp
)  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( y  e.  X  /\  A  e.  X ) ) )
3029an31s 782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( y  e.  X  /\  A  e.  X ) ) )
3130adantllr 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  (
y  e.  X  /\  A  e.  X )
) )
3231adantllr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  (
y  e.  X  /\  A  e.  X )
) )
3332adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( G  e.  GrpOp  /\  ( y  e.  X  /\  A  e.  X
) ) )
34 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( U G x )  =  ( U G y ) )
35 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
3634, 35eqeq12d 2402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( U G x )  =  x  <->  ( U G y )  =  y ) )
3736rspccva 2995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  X  ( U G x )  =  x  /\  y  e.  X )  ->  ( U G y )  =  y )
3819, 37sylanb 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U G y )  =  y )
3938adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  y  e.  X
)  ->  ( U G y )  =  y )
4039adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( U G y )  =  y )
4140adantlll 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  ( U G y )  =  y )
4241anim1i 552 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( ( U G y )  =  y  /\  ( y G A )  =  U ) )
4314grpoidinvlem2 21642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G y )  =  y  /\  ( y G A )  =  U ) )  ->  ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
4433, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
45153expb 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( A G y )  e.  X )
4645ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( A G y )  e.  X )
47 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  (
z G x )  =  ( w G x ) )
4847eqeq1d 2396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
( z G x )  =  U  <->  ( w G x )  =  U ) )
4948cbvrexv 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z  e.  X  ( z G x )  =  U  <->  E. w  e.  X  ( w G x )  =  U )
5049ralbii 2674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  X  E. z  e.  X  (
z G x )  =  U  <->  A. x  e.  X  E. w  e.  X  ( w G x )  =  U )
511, 50bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ps  <->  A. x  e.  X  E. w  e.  X  (
w G x )  =  U )
52 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  (
w G x )  =  ( w G ( A G y ) ) )
5352eqeq1d 2396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  (
( w G x )  =  U  <->  ( w G ( A G y ) )  =  U ) )
5453rexbidv 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  ( E. w  e.  X  ( w G x )  =  U  <->  E. w  e.  X  ( w G ( A G y ) )  =  U ) )
5554rspcva 2994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A G y )  e.  X  /\  A. x  e.  X  E. w  e.  X  (
w G x )  =  U )  ->  E. w  e.  X  ( w G ( A G y ) )  =  U )
5651, 55sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A G y )  e.  X  /\  ps )  ->  E. w  e.  X  ( w G ( A G y ) )  =  U )
57 anass 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  w  e.  X )  /\  ( A G y )  e.  X
)  <->  ( G  e. 
GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) )
5857biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  w  e.  X )  /\  ( A G y )  e.  X
)  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) )
5958an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G y )  e.  X )  /\  w  e.  X
)  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) )
6059ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G y )  e.  X )  ->  (
w  e.  X  -> 
( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) ) )
6145, 60syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( w  e.  X  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) ) )
6261ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( w  e.  X  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) ) )
6362imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  /\  w  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) )
6414grpoidinvlem1 21641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) )  /\  ( ( w G ( A G y ) )  =  U  /\  (
( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y ) ) )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U )
6563, 64sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )  /\  w  e.  X
)  /\  ( (
w G ( A G y ) )  =  U  /\  (
( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y ) ) )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U )
6665exp43 596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( w  e.  X  ->  ( ( w G ( A G y ) )  =  U  ->  ( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) ) )
6766rexlimdv 2773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( E. w  e.  X  ( w G ( A G y ) )  =  U  ->  ( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) )
6856, 67syl5 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( ( ( A G y )  e.  X  /\  ps )  ->  ( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) )
6946, 68mpand 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( ps  ->  (
( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  U ) ) )
7069exp32 589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  ->  ( ph  ->  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ps  ->  ( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) ) ) )
7170com34 79 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  ->  ( ph  ->  ( ps  ->  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) ) ) )
7271imp32 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) )
7372impl 604 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  U ) )
7473adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) )
7544, 74mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  U )
7628, 75eqtr3d 2422 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( A G y )  =  U )
7776ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( y G A )  =  U  -> 
( A G y )  =  U ) )
7877ancld 537 . . 3  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( y G A )  =  U  -> 
( ( y G A )  =  U  /\  ( A G y )  =  U ) ) )
7978reximdva 2762 . 2  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\ 
ps ) )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. y  e.  X  ( y G A )  =  U  ->  E. y  e.  X  ( ( y G A )  =  U  /\  ( A G y )  =  U ) ) )
8013, 79mpd 15 1  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\ 
ps ) )  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( ( y G A )  =  U  /\  ( A G y )  =  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   ran crn 4820  (class class class)co 6021   GrpOpcgr 21623
This theorem is referenced by:  grpoidinv  21645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fo 5401  df-fv 5403  df-ov 6024  df-grpo 21628
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