Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpoinv Structured version   Unicode version

Theorem grpoinv 21817
 Description: The properties of a group element's inverse. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.1
grpinv.2 GId
grpinv.3
Assertion
Ref Expression
grpoinv

Proof of Theorem grpoinv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinv.1 . . . . . 6
2 grpinv.2 . . . . . 6 GId
3 grpinv.3 . . . . . 6
41, 2, 3grpoinvval 21815 . . . . 5
51, 2grpoinveu 21812 . . . . . 6
6 riotacl2 6565 . . . . . 6
75, 6syl 16 . . . . 5
84, 7eqeltrd 2512 . . . 4
9 simpl 445 . . . . . . . . 9
109rgenw 2775 . . . . . . . 8
1110a1i 11 . . . . . . 7
121, 2grpoidinv2 21808 . . . . . . . 8
1312simprd 451 . . . . . . 7
1411, 13, 53jca 1135 . . . . . 6
15 reupick2 3629 . . . . . 6
1614, 15sylan 459 . . . . 5
1716rabbidva 2949 . . . 4
188, 17eleqtrd 2514 . . 3
19 oveq1 6090 . . . . . 6
2019eqeq1d 2446 . . . . 5
21 oveq2 6091 . . . . . 6
2221eqeq1d 2446 . . . . 5
2320, 22anbi12d 693 . . . 4
2423elrab 3094 . . 3
2518, 24sylib 190 . 2
2625simprd 451 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  wreu 2709  crab 2711   crn 4881  cfv 5456  (class class class)co 6083  crio 6544  cgr 21776  GIdcgi 21777  cgn 21778 This theorem is referenced by:  grpolinv  21818  grporinv  21819 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-riota 6551  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ginv 21783
 Copyright terms: Public domain W3C validator