Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpoinvid1 Unicode version

Theorem grpoinvid1 20897
 Description: The inverse of a group element expressed in terms of the identity element. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.1
grpinv.2 GId
grpinv.3
Assertion
Ref Expression
grpoinvid1

Proof of Theorem grpoinvid1
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . 4
21adantl 452 . . 3
3 grpinv.1 . . . . . 6
4 grpinv.2 . . . . . 6 GId
5 grpinv.3 . . . . . 6
63, 4, 5grporinv 20896 . . . . 5
763adant3 975 . . . 4
87adantr 451 . . 3
92, 8eqtr3d 2317 . 2
10 oveq2 5866 . . . 4
1110adantl 452 . . 3
123, 4, 5grpolinv 20895 . . . . . . . 8
1312oveq1d 5873 . . . . . . 7
14133adant3 975 . . . . . 6
153, 5grpoinvcl 20893 . . . . . . . . . 10
1615adantrr 697 . . . . . . . . 9
17 simprl 732 . . . . . . . . 9
18 simprr 733 . . . . . . . . 9
1916, 17, 183jca 1132 . . . . . . . 8
203grpoass 20870 . . . . . . . 8
2119, 20syldan 456 . . . . . . 7
22213impb 1147 . . . . . 6
2314, 22eqtr3d 2317 . . . . 5
243, 4grpolid 20886 . . . . . 6
25243adant2 974 . . . . 5
2623, 25eqtr3d 2317 . . . 4
2726adantr 451 . . 3
283, 4grporid 20887 . . . . . 6
2915, 28syldan 456 . . . . 5
30293adant3 975 . . . 4
3130adantr 451 . . 3
3211, 27, 313eqtr3rd 2324 . 2
339, 32impbida 805 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   crn 4690  cfv 5255  (class class class)co 5858  cgr 20853  GIdcgi 20854  cgn 20855 This theorem is referenced by:  grpoinvid  20899  grpoinvop  20908  subgoinv  20975  ghomgrpilem2  23993  grpodivzer  25377  multinv  25422  multinvb  25423  rngonegmn1l  26580 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860
 Copyright terms: Public domain W3C validator