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Theorem grpokerinj 26551
 Description: A group homomorphism is injective if and only if its kernel is zero. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpkerinj.1
grpkerinj.2 GId
grpkerinj.3
grpkerinj.4 GId
Assertion
Ref Expression
grpokerinj GrpOpHom

Proof of Theorem grpokerinj
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpkerinj.2 . . . . . . . . 9 GId
2 grpkerinj.4 . . . . . . . . 9 GId
31, 2ghomid 21945 . . . . . . . 8 GrpOpHom
43sneqd 3819 . . . . . . 7 GrpOpHom
5 grpkerinj.1 . . . . . . . . . 10
6 grpkerinj.3 . . . . . . . . . 10
75, 6ghomf 26548 . . . . . . . . 9 GrpOpHom
8 ffn 5583 . . . . . . . . 9
97, 8syl 16 . . . . . . . 8 GrpOpHom
105, 1grpoidcl 21797 . . . . . . . . 9
11103ad2ant1 978 . . . . . . . 8 GrpOpHom
12 fnsnfv 5778 . . . . . . . 8
139, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . 7 GrpOpHom
144, 13eqtr3d 2469 . . . . . 6 GrpOpHom
1514imaeq2d 5195 . . . . 5 GrpOpHom
1615adantl 453 . . . 4 GrpOpHom
1710snssd 3935 . . . . . 6
18173ad2ant1 978 . . . . 5 GrpOpHom
19 f1imacnv 5683 . . . . 5
2018, 19sylan2 461 . . . 4 GrpOpHom
2116, 20eqtrd 2467 . . 3 GrpOpHom
2221expcom 425 . 2 GrpOpHom
237adantr 452 . . . 4 GrpOpHom
24 simpl2 961 . . . . . . . 8 GrpOpHom
257ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9 GrpOpHom
2625adantrr 698 . . . . . . . 8 GrpOpHom
277ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9 GrpOpHom
2827adantrl 697 . . . . . . . 8 GrpOpHom
29 eqid 2435 . . . . . . . . 9
306, 2, 29grpoeqdivid 26547 . . . . . . . 8
3124, 26, 28, 30syl3anc 1184 . . . . . . 7 GrpOpHom
3231adantlr 696 . . . . . 6 GrpOpHom
33 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
345, 33, 29ghomdiv 26550 . . . . . . . . 9 GrpOpHom
3534adantlr 696 . . . . . . . 8 GrpOpHom
3635eqeq1d 2443 . . . . . . 7 GrpOpHom
37 fvex 5734 . . . . . . . . . . 11 GId
382, 37eqeltri 2505 . . . . . . . . . 10
3938snid 3833 . . . . . . . . 9
40 eleq1 2495 . . . . . . . . 9
4139, 40mpbiri 225 . . . . . . . 8
42 ffun 5585 . . . . . . . . . . . . . 14
437, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 GrpOpHom
4443adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 GrpOpHom
455, 33grpodivcl 21827 . . . . . . . . . . . . . . 15
46453expb 1154 . . . . . . . . . . . . . 14
47463ad2antl1 1119 . . . . . . . . . . . . 13 GrpOpHom
48 fdm 5587 . . . . . . . . . . . . . . 15
497, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 GrpOpHom
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 GrpOpHom
5147, 50eleqtrrd 2512 . . . . . . . . . . . 12 GrpOpHom
52 fvimacnv 5837 . . . . . . . . . . . 12
5344, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 GrpOpHom
54 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11
5553, 54sylan9bb 681 . . . . . . . . . 10 GrpOpHom
5655an32s 780 . . . . . . . . 9 GrpOpHom
57 elsni 3830 . . . . . . . . . . 11
585, 1, 33grpoeqdivid 26547 . . . . . . . . . . . . . 14
5958biimprd 215 . . . . . . . . . . . . 13
60593expb 1154 . . . . . . . . . . . 12
61603ad2antl1 1119 . . . . . . . . . . 11 GrpOpHom
6257, 61syl5 30 . . . . . . . . . 10 GrpOpHom
6362adantlr 696 . . . . . . . . 9 GrpOpHom
6456, 63sylbid 207 . . . . . . . 8 GrpOpHom
6541, 64syl5 30 . . . . . . 7 GrpOpHom
6636, 65sylbird 227 . . . . . 6 GrpOpHom
6732, 66sylbid 207 . . . . 5 GrpOpHom
6867ralrimivva 2790 . . . 4 GrpOpHom
69 dff13 5996 . . . 4
7023, 68, 69sylanbrc 646 . . 3 GrpOpHom
7170ex 424 . 2 GrpOpHom
7222, 71impbid 184 1 GrpOpHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cvv 2948   wss 3312  csn 3806  ccnv 4869   cdm 4870   crn 4871  cima 4873   wfun 5440   wfn 5441  wf 5442  wf1 5443  cfv 5446  (class class class)co 6073  cgr 21766  GIdcgi 21767   cgs 21769   GrpOpHom cghom 21937 This theorem is referenced by:  rngokerinj  26582 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ghom 21938
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