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Theorem grpokerinj 26575
Description: A group homomorphism is injective if and only if its kernel is zero. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpkerinj.1  |-  X  =  ran  G
grpkerinj.2  |-  W  =  (GId `  G )
grpkerinj.3  |-  Y  =  ran  H
grpkerinj.4  |-  U  =  (GId `  H )
Assertion
Ref Expression
grpokerinj  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( `' F " { U } )  =  { W }
) )

Proof of Theorem grpokerinj
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpkerinj.2 . . . . . . . . 9  |-  W  =  (GId `  G )
2 grpkerinj.4 . . . . . . . . 9  |-  U  =  (GId `  H )
31, 2ghomid 21032 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F `  W )  =  U )
43sneqd 3653 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  { ( F `
 W ) }  =  { U }
)
5 grpkerinj.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ran  G
6 grpkerinj.3 . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ran  H
75, 6ghomf 26572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  F : X --> Y )
8 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
97, 8syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  F  Fn  X
)
105, 1grpoidcl 20884 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  W  e.  X )
11103ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  W  e.  X
)
12 fnsnfv 5582 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  X  /\  W  e.  X )  ->  { ( F `  W ) }  =  ( F " { W } ) )
139, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  { ( F `
 W ) }  =  ( F " { W } ) )
144, 13eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  { U }  =  ( F " { W } ) )
1514imaeq2d 5012 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( `' F " { U } )  =  ( `' F " ( F " { W } ) ) )
1615adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
) )  ->  ( `' F " { U } )  =  ( `' F " ( F
" { W }
) ) )
1710snssd 3760 . . . . . 6  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  { W }  C_  X )
18173ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  { W }  C_  X )
19 f1imacnv 5489 . . . . 5  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  { W }  C_  X )  ->  ( `' F " ( F
" { W }
) )  =  { W } )
2018, 19sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
) )  ->  ( `' F " ( F
" { W }
) )  =  { W } )
2116, 20eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
) )  ->  ( `' F " { U } )  =  { W } )
2221expcom 424 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X -1-1-> Y  ->  ( `' F " { U } )  =  { W } ) )
237adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( `' F " { U }
)  =  { W } )  ->  F : X --> Y )
24 simpl2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  H  e.  GrpOp )
25 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> Y  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x
)  e.  Y )
267, 25sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  Y )
2726adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  x
)  e.  Y )
28 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> Y  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y
)  e.  Y )
297, 28sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  Y )
3029adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  y
)  e.  Y )
31 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  (  /g  `  H )  =  (  /g  `  H )
326, 2, 31grpoeqdivid 26571 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  GrpOp  /\  ( F `  x )  e.  Y  /\  ( F `  y )  e.  Y )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( ( F `  x )
(  /g  `  H ) ( F `  y
) )  =  U ) )
3324, 27, 30, 32syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( ( F `  x ) (  /g  `  H ) ( F `
 y ) )  =  U ) )
3433adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  ( ( F `  x )
(  /g  `  H ) ( F `  y
) )  =  U ) )
35 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  (  /g  `  G )  =  (  /g  `  G )
365, 35, 31ghomdiv 26574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x (  /g  `  G
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) (  /g  `  H ) ( F `  y
) ) )
3736adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( F `  ( x (  /g  `  G ) y ) )  =  ( ( F `  x ) (  /g  `  H
) ( F `  y ) ) )
3837eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  =  U  <->  ( ( F `
 x ) (  /g  `  H ) ( F `  y
) )  =  U ) )
39 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  (GId `  H )  e.  _V
402, 39eqeltri 2353 . . . . . . . . . 10  |-  U  e. 
_V
4140snid 3667 . . . . . . . . 9  |-  U  e. 
{ U }
42 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  ( x (  /g  `  G
) y ) )  =  U  ->  (
( F `  (
x (  /g  `  G
) y ) )  e.  { U }  <->  U  e.  { U }
) )
4341, 42mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( x (  /g  `  G
) y ) )  =  U  ->  ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  e. 
{ U } )
44 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
457, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  Fun  F )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  Fun  F )
475, 35grpodivcl 20914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x (  /g  `  G
) y )  e.  X )
48473expb 1152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x
(  /g  `  G ) y )  e.  X
)
49483ad2antl1 1117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x (  /g  `  G ) y )  e.  X )
50 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
517, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  dom  F  =  X )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  dom  F  =  X )
5349, 52eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x (  /g  `  G ) y )  e.  dom  F )
54 fvimacnv 5640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  (
x (  /g  `  G
) y )  e. 
dom  F )  -> 
( ( F `  ( x (  /g  `  G ) y ) )  e.  { U } 
<->  ( x (  /g  `  G ) y )  e.  ( `' F " { U } ) ) )
5546, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( x (  /g  `  G ) y ) )  e.  { U } 
<->  ( x (  /g  `  G ) y )  e.  ( `' F " { U } ) ) )
56 eleq2 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " { U } )  =  { W }  ->  ( ( x (  /g  `  G
) y )  e.  ( `' F " { U } )  <->  ( x
(  /g  `  G ) y )  e.  { W } ) )
5755, 56sylan9bb 680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  ->  (
( F `  (
x (  /g  `  G
) y ) )  e.  { U }  <->  ( x (  /g  `  G
) y )  e. 
{ W } ) )
5857an32s 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  e. 
{ U }  <->  ( x
(  /g  `  G ) y )  e.  { W } ) )
59 elsni 3664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (  /g  `  G
) y )  e. 
{ W }  ->  ( x (  /g  `  G
) y )  =  W )
605, 1, 35grpoeqdivid 26571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =  y  <->  ( x
(  /g  `  G ) y )  =  W ) )
6160biimprd 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( x (  /g  `  G ) y )  =  W  ->  x  =  y ) )
62613expb 1152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x (  /g  `  G
) y )  =  W  ->  x  =  y ) )
63623ad2antl1 1117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x (  /g  `  G ) y )  =  W  ->  x  =  y ) )
6459, 63syl5 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x (  /g  `  G ) y )  e.  { W }  ->  x  =  y ) )
6564adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x (  /g  `  G
) y )  e. 
{ W }  ->  x  =  y ) )
6658, 65sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  e. 
{ U }  ->  x  =  y ) )
6743, 66syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  =  U  ->  x  =  y ) )
6838, 67sylbird 226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
( F `  x
) (  /g  `  H
) ( F `  y ) )  =  U  ->  x  =  y ) )
6934, 68sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
7069ralrimivva 2635 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( `' F " { U }
)  =  { W } )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
71 dff13 5783 . . . 4  |-  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
7223, 70, 71sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( `' F " { U }
)  =  { W } )  ->  F : X -1-1-> Y )
7372ex 423 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( `' F " { U } )  =  { W }  ->  F : X -1-1-> Y ) )
7422, 73impbid 183 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( `' F " { U } )  =  { W }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   GrpOpcgr 20853  GIdcgi 20854    /g cgs 20856   GrpOpHom cghom 21024
This theorem is referenced by:  rngokerinj  26606
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ghom 21025
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