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Theorem grpokerinj 26253
Description: A group homomorphism is injective if and only if its kernel is zero. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpkerinj.1  |-  X  =  ran  G
grpkerinj.2  |-  W  =  (GId `  G )
grpkerinj.3  |-  Y  =  ran  H
grpkerinj.4  |-  U  =  (GId `  H )
Assertion
Ref Expression
grpokerinj  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( `' F " { U } )  =  { W }
) )

Proof of Theorem grpokerinj
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpkerinj.2 . . . . . . . . 9  |-  W  =  (GId `  G )
2 grpkerinj.4 . . . . . . . . 9  |-  U  =  (GId `  H )
31, 2ghomid 21803 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F `  W )  =  U )
43sneqd 3772 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  { ( F `
 W ) }  =  { U }
)
5 grpkerinj.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ran  G
6 grpkerinj.3 . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ran  H
75, 6ghomf 26250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  F : X --> Y )
8 ffn 5533 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
97, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  F  Fn  X
)
105, 1grpoidcl 21655 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  W  e.  X )
11103ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  W  e.  X
)
12 fnsnfv 5727 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  X  /\  W  e.  X )  ->  { ( F `  W ) }  =  ( F " { W } ) )
139, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  { ( F `
 W ) }  =  ( F " { W } ) )
144, 13eqtr3d 2423 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  { U }  =  ( F " { W } ) )
1514imaeq2d 5145 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( `' F " { U } )  =  ( `' F " ( F " { W } ) ) )
1615adantl 453 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
) )  ->  ( `' F " { U } )  =  ( `' F " ( F
" { W }
) ) )
1710snssd 3888 . . . . . 6  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  { W }  C_  X )
18173ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  { W }  C_  X )
19 f1imacnv 5633 . . . . 5  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  { W }  C_  X )  ->  ( `' F " ( F
" { W }
) )  =  { W } )
2018, 19sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
) )  ->  ( `' F " ( F
" { W }
) )  =  { W } )
2116, 20eqtrd 2421 . . 3  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
) )  ->  ( `' F " { U } )  =  { W } )
2221expcom 425 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X -1-1-> Y  ->  ( `' F " { U } )  =  { W } ) )
237adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( `' F " { U }
)  =  { W } )  ->  F : X --> Y )
24 simpl2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  H  e.  GrpOp )
257ffvelrnda 5811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  Y )
2625adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  x
)  e.  Y )
277ffvelrnda 5811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  Y )
2827adantrl 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  y
)  e.  Y )
29 eqid 2389 . . . . . . . . 9  |-  (  /g  `  H )  =  (  /g  `  H )
306, 2, 29grpoeqdivid 26249 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  GrpOp  /\  ( F `  x )  e.  Y  /\  ( F `  y )  e.  Y )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( ( F `  x )
(  /g  `  H ) ( F `  y
) )  =  U ) )
3124, 26, 28, 30syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( ( F `  x ) (  /g  `  H ) ( F `
 y ) )  =  U ) )
3231adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  ( ( F `  x )
(  /g  `  H ) ( F `  y
) )  =  U ) )
33 eqid 2389 . . . . . . . . . 10  |-  (  /g  `  G )  =  (  /g  `  G )
345, 33, 29ghomdiv 26252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x (  /g  `  G
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) (  /g  `  H ) ( F `  y
) ) )
3534adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( F `  ( x (  /g  `  G ) y ) )  =  ( ( F `  x ) (  /g  `  H
) ( F `  y ) ) )
3635eqeq1d 2397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  =  U  <->  ( ( F `
 x ) (  /g  `  H ) ( F `  y
) )  =  U ) )
37 fvex 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  (GId `  H )  e.  _V
382, 37eqeltri 2459 . . . . . . . . . 10  |-  U  e. 
_V
3938snid 3786 . . . . . . . . 9  |-  U  e. 
{ U }
40 eleq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  ( x (  /g  `  G
) y ) )  =  U  ->  (
( F `  (
x (  /g  `  G
) y ) )  e.  { U }  <->  U  e.  { U }
) )
4139, 40mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( x (  /g  `  G
) y ) )  =  U  ->  ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  e. 
{ U } )
42 ffun 5535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
437, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  Fun  F )
4443adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  Fun  F )
455, 33grpodivcl 21685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x (  /g  `  G
) y )  e.  X )
46453expb 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x
(  /g  `  G ) y )  e.  X
)
47463ad2antl1 1119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x (  /g  `  G ) y )  e.  X )
48 fdm 5537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
497, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  dom  F  =  X )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  dom  F  =  X )
5147, 50eleqtrrd 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x (  /g  `  G ) y )  e.  dom  F )
52 fvimacnv 5786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  (
x (  /g  `  G
) y )  e. 
dom  F )  -> 
( ( F `  ( x (  /g  `  G ) y ) )  e.  { U } 
<->  ( x (  /g  `  G ) y )  e.  ( `' F " { U } ) ) )
5344, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( x (  /g  `  G ) y ) )  e.  { U } 
<->  ( x (  /g  `  G ) y )  e.  ( `' F " { U } ) ) )
54 eleq2 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " { U } )  =  { W }  ->  ( ( x (  /g  `  G
) y )  e.  ( `' F " { U } )  <->  ( x
(  /g  `  G ) y )  e.  { W } ) )
5553, 54sylan9bb 681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  ->  (
( F `  (
x (  /g  `  G
) y ) )  e.  { U }  <->  ( x (  /g  `  G
) y )  e. 
{ W } ) )
5655an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  e. 
{ U }  <->  ( x
(  /g  `  G ) y )  e.  { W } ) )
57 elsni 3783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (  /g  `  G
) y )  e. 
{ W }  ->  ( x (  /g  `  G
) y )  =  W )
585, 1, 33grpoeqdivid 26249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =  y  <->  ( x
(  /g  `  G ) y )  =  W ) )
5958biimprd 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( x (  /g  `  G ) y )  =  W  ->  x  =  y ) )
60593expb 1154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x (  /g  `  G
) y )  =  W  ->  x  =  y ) )
61603ad2antl1 1119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x (  /g  `  G ) y )  =  W  ->  x  =  y ) )
6257, 61syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x (  /g  `  G ) y )  e.  { W }  ->  x  =  y ) )
6362adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x (  /g  `  G
) y )  e. 
{ W }  ->  x  =  y ) )
6456, 63sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  e. 
{ U }  ->  x  =  y ) )
6541, 64syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  =  U  ->  x  =  y ) )
6636, 65sylbird 227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
( F `  x
) (  /g  `  H
) ( F `  y ) )  =  U  ->  x  =  y ) )
6732, 66sylbid 207 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
6867ralrimivva 2743 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( `' F " { U }
)  =  { W } )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
69 dff13 5945 . . . 4  |-  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
7023, 68, 69sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( `' F " { U }
)  =  { W } )  ->  F : X -1-1-> Y )
7170ex 424 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( `' F " { U } )  =  { W }  ->  F : X -1-1-> Y ) )
7222, 71impbid 184 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( `' F " { U } )  =  { W }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   {csn 3759   `'ccnv 4819   dom cdm 4820   ran crn 4821   "cima 4823   Fun wfun 5390    Fn wfn 5391   -->wf 5392   -1-1->wf1 5393   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   GrpOpcgr 21624  GIdcgi 21625    /g cgs 21627   GrpOpHom cghom 21795
This theorem is referenced by:  rngokerinj  26284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-grpo 21629  df-gid 21630  df-ginv 21631  df-gdiv 21632  df-ghom 21796
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