MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpopnpcan2 Unicode version

Theorem grpopnpcan2 20920
Description: Cancellation law for mixed addition and group division. (pnpcan2 9087 analog.) (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
grpdivf.1  |-  X  =  ran  G
grpdivf.3  |-  D  =  (  /g  `  G
)
Assertion
Ref Expression
grpopnpcan2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A G C ) D ( B G C ) )  =  ( A D B ) )

Proof of Theorem grpopnpcan2
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  G  e.  GrpOp
)
2 grpdivf.1 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
32grpocl 20867 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A G C )  e.  X )
433adant3r2 1161 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A G C )  e.  X
)
52grpocl 20867 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B G C )  e.  X )
653adant3r1 1160 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B G C )  e.  X
)
7 eqid 2283 . . . 4  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
8 grpdivf.3 . . . 4  |-  D  =  (  /g  `  G
)
92, 7, 8grpodivval 20910 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G C )  e.  X  /\  ( B G C )  e.  X )  ->  (
( A G C ) D ( B G C ) )  =  ( ( A G C ) G ( ( inv `  G
) `  ( B G C ) ) ) )
101, 4, 6, 9syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A G C ) D ( B G C ) )  =  ( ( A G C ) G ( ( inv `  G ) `
 ( B G C ) ) ) )
112, 7grpoinvop 20908 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( B G C ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )
12113adant3r1 1160 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( inv `  G ) `  ( B G C ) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  C ) G ( ( inv `  G ) `  B
) ) )
1312oveq2d 5874 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A G C ) G ( ( inv `  G
) `  ( B G C ) ) )  =  ( ( A G C ) G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) )
14 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
152, 14, 7grporinv 20896 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  C  e.  X )  ->  ( C G ( ( inv `  G ) `  C
) )  =  (GId
`  G ) )
16153adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( C G ( ( inv `  G ) `  C
) )  =  (GId
`  G ) )
1716oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( C G ( ( inv `  G
) `  C )
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  =  ( (GId `  G ) G ( ( inv `  G
) `  B )
) )
18 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  G  e.  GrpOp )
19 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  C  e.  X )
202, 7grpoinvcl 20893 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  C  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  C )  e.  X )
21203adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  C )  e.  X )
222, 7grpoinvcl 20893 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X )
23223adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X )
242grpoass 20870 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( C  e.  X  /\  ( ( inv `  G
) `  C )  e.  X  /\  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X ) )  -> 
( ( C G ( ( inv `  G
) `  C )
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  =  ( C G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) )
2518, 19, 21, 23, 24syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( C G ( ( inv `  G
) `  C )
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  =  ( C G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) )
262, 14grpolid 20886 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X )  ->  (
(GId `  G ) G ( ( inv `  G ) `  B
) )  =  ( ( inv `  G
) `  B )
)
2722, 26syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X )  ->  (
(GId `  G ) G ( ( inv `  G ) `  B
) )  =  ( ( inv `  G
) `  B )
)
28273adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
(GId `  G ) G ( ( inv `  G ) `  B
) )  =  ( ( inv `  G
) `  B )
)
2917, 25, 283eqtr3d 2323 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( C G ( ( ( inv `  G ) `
 C ) G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  =  ( ( inv `  G
) `  B )
)
30293adant3r1 1160 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( C G ( ( ( inv `  G ) `
 C ) G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  =  ( ( inv `  G
) `  B )
)
3130oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A G ( C G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) )  =  ( A G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )
32 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
33 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  C  e.  X )
34203ad2antr3 1122 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( inv `  G ) `  C )  e.  X
)
35223ad2antr2 1121 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( inv `  G ) `  B )  e.  X
)
362grpocl 20867 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( inv `  G
) `  C )  e.  X  /\  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X )  ->  (
( ( inv `  G
) `  C ) G ( ( inv `  G ) `  B
) )  e.  X
)
371, 34, 35, 36syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( (
( inv `  G
) `  C ) G ( ( inv `  G ) `  B
) )  e.  X
)
382grpoass 20870 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  e.  X ) )  ->  ( ( A G C ) G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  =  ( A G ( C G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) ) )
391, 32, 33, 37, 38syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A G C ) G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  =  ( A G ( C G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) ) )
402, 7, 8grpodivval 20910 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( A G ( ( inv `  G
) `  B )
) )
41403adant3r3 1162 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D B )  =  ( A G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )
4231, 39, 413eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A G C ) G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  =  ( A D B ) )
4310, 13, 423eqtrd 2319 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A G C ) D ( B G C ) )  =  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   GrpOpcgr 20853  GIdcgi 20854   invcgn 20855    /g cgs 20856
This theorem is referenced by:  grponnncan2  20921
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861
  Copyright terms: Public domain W3C validator