MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grposn Unicode version

Theorem grposn 20935
Description: The group operation for the singleton group. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpsn.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
grposn  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp

Proof of Theorem grposn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4253 . 2  |-  { A }  e.  _V
2 opex 4274 . . . . 5  |-  <. A ,  A >.  e.  _V
3 grpsn.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
42, 3f1osn 5551 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } -1-1-onto-> { A }
5 f1of 5510 . . . 4  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } -1-1-onto-> { A }  ->  {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }
)
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }
73, 3xpsn 5738 . . . 4  |-  ( { A }  X.  { A } )  =  { <. A ,  A >. }
87feq2i 5422 . . 3  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } :
( { A }  X.  { A } ) --> { A }  <->  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A } )
96, 8mpbir 200 . 2  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : ( { A }  X.  { A } ) --> { A }
10 elsn 3689 . . 3  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
11 elsn 3689 . . 3  |-  ( y  e.  { A }  <->  y  =  A )
12 elsn 3689 . . 3  |-  ( z  e.  { A }  <->  z  =  A )
13 oveq2 5908 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A ) )
14 oveq1 5907 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) )
15 oveq2 5908 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
) )
16 df-ov 5903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
)  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )
172, 3fvsn 5752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  A
1816, 17eqtri 2336 . . . . . . . . . 10  |-  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
)  =  A
1915, 18syl6eq 2364 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  A )
2014, 19sylan9eq 2368 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  A )
2120oveq1d 5915 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A ) )
2221, 18syl6eq 2364 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A )  =  A )
2313, 22sylan9eqr 2370 . . . . 5  |-  ( ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  /\  z  =  A )  ->  (
( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  A )
24233impa 1146 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  A )
25 oveq1 5907 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  (
y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) ) )
26 oveq1 5907 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )
27 oveq2 5908 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
) )
2827, 18syl6eq 2364 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  A )
2926, 28sylan9eq 2368 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  A )
3029oveq2d 5916 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A ) )
3130, 18syl6eq 2364 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  A )
3225, 31sylan9eq 2368 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  ( y  =  A  /\  z  =  A ) )  ->  (
x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  A )
33323impb 1147 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  A )
3424, 33eqtr4d 2351 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) ) )
3510, 11, 12, 34syl3anb 1225 . 2  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A }  /\  z  e.  { A } )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) ) )
363snid 3701 . 2  |-  A  e. 
{ A }
37 oveq2 5908 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x
)  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
) )
3837, 18syl6eq 2364 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x
)  =  A )
39 id 19 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
4038, 39eqtr4d 2351 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x
)  =  x )
4110, 40sylbi 187 . 2  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x )  =  x )
4236a1i 10 . 2  |-  ( x  e.  { A }  ->  A  e.  { A } )
4310, 38sylbi 187 . 2  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x )  =  A )
441, 9, 35, 36, 41, 42, 43isgrpoi 20918 1  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822   {csn 3674   <.cop 3677    X. cxp 4724   -->wf 5288   -1-1-onto->wf1o 5291   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   GrpOpcgr 20906
This theorem is referenced by:  ablosn  21067  gidsn  21068  ginvsn  21069  ghomsn  24279  ghomgrplem  24280
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-grpo 20911
  Copyright terms: Public domain W3C validator