MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grposn Unicode version

Theorem grposn 20882
Description: The group operation for the singleton group. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpsn.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
grposn  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp

Proof of Theorem grposn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4216 . 2  |-  { A }  e.  _V
2 opex 4237 . . . . 5  |-  <. A ,  A >.  e.  _V
3 grpsn.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
42, 3f1osn 5513 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } -1-1-onto-> { A }
5 f1of 5472 . . . 4  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } -1-1-onto-> { A }  ->  {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }
)
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }
73, 3xpsn 5700 . . . 4  |-  ( { A }  X.  { A } )  =  { <. A ,  A >. }
87feq2i 5384 . . 3  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } :
( { A }  X.  { A } ) --> { A }  <->  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A } )
96, 8mpbir 200 . 2  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : ( { A }  X.  { A } ) --> { A }
10 elsn 3655 . . 3  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
11 elsn 3655 . . 3  |-  ( y  e.  { A }  <->  y  =  A )
12 elsn 3655 . . 3  |-  ( z  e.  { A }  <->  z  =  A )
13 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A ) )
14 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) )
15 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
) )
16 df-ov 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
)  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )
172, 3fvsn 5713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  A
1816, 17eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
)  =  A
1915, 18syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  A )
2014, 19sylan9eq 2335 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  A )
2120oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A ) )
2221, 18syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A )  =  A )
2313, 22sylan9eqr 2337 . . . . 5  |-  ( ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  /\  z  =  A )  ->  (
( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  A )
24233impa 1146 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  A )
25 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  (
y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) ) )
26 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )
27 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
) )
2827, 18syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  A )
2926, 28sylan9eq 2335 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  A )
3029oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A ) )
3130, 18syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  A )
3225, 31sylan9eq 2335 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  ( y  =  A  /\  z  =  A ) )  ->  (
x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  A )
33323impb 1147 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  A )
3424, 33eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) ) )
3510, 11, 12, 34syl3anb 1225 . 2  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A }  /\  z  e.  { A } )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) ) )
363snid 3667 . 2  |-  A  e. 
{ A }
37 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x
)  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
) )
3837, 18syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x
)  =  A )
39 id 19 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
4038, 39eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x
)  =  x )
4110, 40sylbi 187 . 2  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x )  =  x )
4236a1i 10 . 2  |-  ( x  e.  { A }  ->  A  e.  { A } )
4310, 38sylbi 187 . 2  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x )  =  A )
441, 9, 35, 36, 41, 42, 43isgrpoi 20865 1  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643    X. cxp 4687   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   GrpOpcgr 20853
This theorem is referenced by:  ablosn  21014  gidsn  21015  ginvsn  21016  ghomsn  23995  ghomgrplem  23996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-grpo 20858
  Copyright terms: Public domain W3C validator