Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grposn Structured version   Unicode version

Theorem grposn 21803
 Description: The group operation for the singleton group. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpsn.1
Assertion
Ref Expression
grposn

Proof of Theorem grposn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4405 . 2
2 opex 4427 . . . . 5
3 grpsn.1 . . . . 5
42, 3f1osn 5715 . . . 4
5 f1of 5674 . . . 4
64, 5ax-mp 8 . . 3
73, 3xpsn 5910 . . . 4
87feq2i 5586 . . 3
96, 8mpbir 201 . 2
10 elsn 3829 . . 3
11 elsn 3829 . . 3
12 elsn 3829 . . 3
13 oveq2 6089 . . . . . 6
14 oveq1 6088 . . . . . . . . 9
15 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10
16 df-ov 6084 . . . . . . . . . . 11
172, 3fvsn 5926 . . . . . . . . . . 11
1816, 17eqtri 2456 . . . . . . . . . 10
1915, 18syl6eq 2484 . . . . . . . . 9
2014, 19sylan9eq 2488 . . . . . . . 8
2120oveq1d 6096 . . . . . . 7
2221, 18syl6eq 2484 . . . . . 6
2313, 22sylan9eqr 2490 . . . . 5
24233impa 1148 . . . 4
25 oveq1 6088 . . . . . 6
26 oveq1 6088 . . . . . . . . 9
27 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10
2827, 18syl6eq 2484 . . . . . . . . 9
2926, 28sylan9eq 2488 . . . . . . . 8
3029oveq2d 6097 . . . . . . 7
3130, 18syl6eq 2484 . . . . . 6
3225, 31sylan9eq 2488 . . . . 5
33323impb 1149 . . . 4
3424, 33eqtr4d 2471 . . 3
3510, 11, 12, 34syl3anb 1227 . 2
363snid 3841 . 2
37 oveq2 6089 . . . . 5
3837, 18syl6eq 2484 . . . 4
39 id 20 . . . 4
4038, 39eqtr4d 2471 . . 3
4110, 40sylbi 188 . 2
4236a1i 11 . 2
4310, 38sylbi 188 . 2
441, 9, 35, 36, 41, 42, 43isgrpoi 21786 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956  csn 3814  cop 3817   cxp 4876  wf 5450  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081  cgr 21774 This theorem is referenced by:  ablosn  21935  gidsn  21936  ginvsn  21937  ghomsn  25099  ghomgrplem  25100 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-grpo 21779
 Copyright terms: Public domain W3C validator