MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grposn Structured version   Unicode version

Theorem grposn 21803
Description: The group operation for the singleton group. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpsn.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
grposn  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp

Proof of Theorem grposn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4405 . 2  |-  { A }  e.  _V
2 opex 4427 . . . . 5  |-  <. A ,  A >.  e.  _V
3 grpsn.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
42, 3f1osn 5715 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } -1-1-onto-> { A }
5 f1of 5674 . . . 4  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } -1-1-onto-> { A }  ->  {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }
)
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }
73, 3xpsn 5910 . . . 4  |-  ( { A }  X.  { A } )  =  { <. A ,  A >. }
87feq2i 5586 . . 3  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } :
( { A }  X.  { A } ) --> { A }  <->  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A } )
96, 8mpbir 201 . 2  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : ( { A }  X.  { A } ) --> { A }
10 elsn 3829 . . 3  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
11 elsn 3829 . . 3  |-  ( y  e.  { A }  <->  y  =  A )
12 elsn 3829 . . 3  |-  ( z  e.  { A }  <->  z  =  A )
13 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A ) )
14 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) )
15 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
) )
16 df-ov 6084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
)  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )
172, 3fvsn 5926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  A
1816, 17eqtri 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
)  =  A
1915, 18syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  A )
2014, 19sylan9eq 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  A )
2120oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A ) )
2221, 18syl6eq 2484 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A )  =  A )
2313, 22sylan9eqr 2490 . . . . 5  |-  ( ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  /\  z  =  A )  ->  (
( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  A )
24233impa 1148 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  A )
25 oveq1 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  (
y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) ) )
26 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )
27 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
) )
2827, 18syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  A )
2926, 28sylan9eq 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  A )
3029oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A ) )
3130, 18syl6eq 2484 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  A )
3225, 31sylan9eq 2488 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  ( y  =  A  /\  z  =  A ) )  ->  (
x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  A )
33323impb 1149 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) )  =  A )
3424, 33eqtr4d 2471 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) ) )
3510, 11, 12, 34syl3anb 1227 . 2  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A }  /\  z  e.  { A } )  ->  ( ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y ) { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z )  =  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } z ) ) )
363snid 3841 . 2  |-  A  e. 
{ A }
37 oveq2 6089 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x
)  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
) )
3837, 18syl6eq 2484 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x
)  =  A )
39 id 20 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
4038, 39eqtr4d 2471 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x
)  =  x )
4110, 40sylbi 188 . 2  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x )  =  x )
4236a1i 11 . 2  |-  ( x  e.  { A }  ->  A  e.  { A } )
4310, 38sylbi 188 . 2  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x )  =  A )
441, 9, 35, 36, 41, 42, 43isgrpoi 21786 1  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   {csn 3814   <.cop 3817    X. cxp 4876   -->wf 5450   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   GrpOpcgr 21774
This theorem is referenced by:  ablosn  21935  gidsn  21936  ginvsn  21937  ghomsn  25099  ghomgrplem  25100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-grpo 21779
  Copyright terms: Public domain W3C validator