MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grppncan Structured version   Unicode version

Theorem grppncan 14879
Description: Cancellation law for subtraction (pncan 9311 analog). (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grppncan  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .-  Y
)  =  X )

Proof of Theorem grppncan
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
2 simp2 958 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
3 simp3 959 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
4 grpsubadd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpsubadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 grpsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
74, 5, 6grpaddsubass 14878 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  Y )  =  ( X  .+  ( Y  .-  Y ) ) )
81, 2, 3, 3, 7syl13anc 1186 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( Y  .-  Y ) ) )
9 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
104, 9, 6grpsubid 14873 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .-  Y
)  =  ( 0g
`  G ) )
1110oveq2d 6097 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( Y  .-  Y ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
12113adant2 976 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( Y  .-  Y ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
134, 5, 9grprid 14836 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
14133adant3 977 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
158, 12, 143eqtrd 2472 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .-  Y
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   -gcsg 14688
This theorem is referenced by:  grpnpcan  14880  grppnpcan2  14882  ssnmz  14982  conjnmz  15039  cntrsubgnsg  15139  sylow2blem3  15256  sylow3lem2  15262  subgdisj1  15323  pgpfac1lem3  15635  lmodvpncan  15997  opnsubg  18137  ofldaddlt  24241  lfl0  29863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814
  Copyright terms: Public domain W3C validator