Theorem grppncan 8174

Description: Group theory analog of pncan 5462.

Hypotheses

Ref	Expression
grpdivf.1	|- X = ran G
grpdivf.3	|- D = ( /g ` G)

Assertion

Ref	Expression
grppncan	|- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> ((AGB)DB) = A)

Proof of Theorem grppncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpdivf.1	. . . 4 |- X = ran G
2		grpdivf.3	. . . 4 |- D = ( /g ` G)
3	1, 2	grpmuldivass 8172	. . 3 |- ((G e. Grp /\ (A e. X /\ B e. X /\ B e. X)) -> ((AGB)DB) = (AG(BDB)))
4		3simp1 800	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> G e. Grp)
5		3simp2 801	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> A e. X)
6		3simp3 802	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> B e. X)
7	5, 6, 6	3jca 831	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (A e. X /\ B e. X /\ B e. X))
8	3, 4, 7	sylanc 482	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> ((AGB)DB) = (AG(BDB)))
9		eqid 1522	. . . . 5 |- (Id` G) = (Id` G)
10	1, 2, 9	grpdivid 8173	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ B e. X) -> (BDB) = (Id` G))
11	10	opreq2d 4034	. . 3 |- ((G e. Grp /\ B e. X) -> (AG(BDB)) = (AG(Id` G)))
12	11	3adant2 810	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (AG(BDB)) = (AG(Id` G)))
13	1, 9	grprid 8146	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (AG(Id` G)) = A)
14	13	3adant3 811	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (AG(Id` G)) = A)
15	8, 12, 14	3eqtrd 1558	1 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> ((AGB)DB) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   /\ w3a 787   = wceq 997   e. wcel 999  ran crn 3228  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  Grpcgr 8118  Idcgi 8119   /g cgs 8121

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-id 2891  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fo 3253  df-fv 3255  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-grp 8122  df-gid 8123  df-ginv 8124  df-gdiv 8125

Copyright terms: Public domain