Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grppropd Structured version   Unicode version

Theorem grppropd 14813
 Description: If two structures have the same group components (properties), one is a group iff the other one is. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grppropd.1
grppropd.2
grppropd.3
Assertion
Ref Expression
grppropd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem grppropd
StepHypRef Expression
1 grppropd.1 . . . 4
2 grppropd.2 . . . 4
3 grppropd.3 . . . 4
41, 2, 3mndpropd 14711 . . 3
51, 2, 3grpidpropd 14712 . . . . . . . . 9
65adantr 452 . . . . . . . 8
73, 6eqeq12d 2449 . . . . . . 7
87anass1rs 783 . . . . . 6
98rexbidva 2714 . . . . 5
109ralbidva 2713 . . . 4
111rexeqdv 2903 . . . . 5
121, 11raleqbidv 2908 . . . 4
132rexeqdv 2903 . . . . 5
142, 13raleqbidv 2908 . . . 4
1510, 12, 143bitr3d 275 . . 3
164, 15anbi12d 692 . 2
17 eqid 2435 . . 3
18 eqid 2435 . . 3
19 eqid 2435 . . 3
2017, 18, 19isgrp 14806 . 2
21 eqid 2435 . . 3
22 eqid 2435 . . 3
23 eqid 2435 . . 3
2421, 22, 23isgrp 14806 . 2
2516, 20, 243bitr4g 280 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13459   cplusg 13519  c0g 13713  cmnd 14674  cgrp 14675 This theorem is referenced by:  grpprop  14814  ghmpropd  15033  oppggrpb  15144  ablpropd  15412  rngpropd  15685  lmodprop2d  15996  sralmod  16248  nmpropd2  18632  ngppropd  18668  tngngp2  18683  zhmnrg  24341 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802
 Copyright terms: Public domain W3C validator