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Theorem grprcan 14838
Description: Right cancellation law for groups. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grprcan.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grprcan.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
grprcan  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  =  ( Y 
.+  Z )  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem grprcan
Dummy variables  v  u  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grprcan.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grprcan.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
41, 2, 3grpinvex 14820 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )
543ad2antr3 1124 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
6 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) )
76oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  y )  =  ( ( Y 
.+  Z )  .+  y ) )
8 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  G  e.  Grp )
91, 2grpass 14819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
108, 9sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
11 simplr1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  X  e.  B )
12 simplr3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  Z  e.  B )
13 simprll 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  y  e.  B )
1410, 11, 12, 13caovassd 6246 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  y )  =  ( X  .+  ( Z  .+  y ) ) )
15 simplr2 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  Y  e.  B )
1610, 15, 12, 13caovassd 6246 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
( Y  .+  Z
)  .+  y )  =  ( Y  .+  ( Z  .+  y ) ) )
177, 14, 163eqtr3d 2476 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( Z  .+  y ) )  =  ( Y  .+  ( Z  .+  y ) ) )
181, 2grpcl 14818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  ( u  .+  v
)  e.  B )
198, 18syl3an1 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  ( u  .+  v
)  e.  B )
201, 3grpidcl 14833 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
218, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
221, 2, 3grplid 14835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u
)  =  u )
238, 22sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  u  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u
)  =  u )
241, 2, 3grpinvex 14820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  E. v  e.  B  ( v  .+  u
)  =  ( 0g
`  G ) )
258, 24sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  u  e.  B )  ->  E. v  e.  B  ( v  .+  u
)  =  ( 0g
`  G ) )
26 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  Z  e.  B )
2713adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  y  e.  B )
28 simprlr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
y  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
2928adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )
3019, 21, 23, 10, 25, 26, 27, 29grprinvd 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  ( Z  .+  y
)  =  ( 0g
`  G ) )
3112, 30mpdan 650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( Z  .+  y )  =  ( 0g `  G
) )
3231oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( Z  .+  y ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
3331oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( Y  .+  ( Z  .+  y ) )  =  ( Y  .+  ( 0g `  G ) ) )
3417, 32, 333eqtr3d 2476 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( Y  .+  ( 0g `  G ) ) )
351, 2, 3grprid 14836 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
368, 11, 35syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
371, 2, 3grprid 14836 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
388, 15, 37syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
3934, 36, 383eqtr3d 2476 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  X  =  Y )
4039expr 599 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) ) )  ->  ( ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
)  ->  X  =  Y ) )
415, 40rexlimddv 2834 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  =  ( Y 
.+  Z )  ->  X  =  Y )
)
42 oveq1 6088 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) )
4341, 42impbid1 195 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  =  ( Y 
.+  Z )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685
This theorem is referenced by:  grpinveu  14839  grpid  14840  grpsubrcan  14870  grpsubadd  14876  sylow1lem4  15235  rngcom  15692  rngrz  15701  lmodcom  15990  rhmunitinv  24260  isnumbasgrplem2  27246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-riota 6549  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812
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