Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grprcan Structured version   Unicode version

Theorem grprcan 14838
 Description: Right cancellation law for groups. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grprcan.b
grprcan.p
Assertion
Ref Expression
grprcan

Proof of Theorem grprcan
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grprcan.b . . . . 5
2 grprcan.p . . . . 5
3 eqid 2436 . . . . 5
41, 2, 3grpinvex 14820 . . . 4
543ad2antr3 1124 . . 3
6 simprr 734 . . . . . . . 8
76oveq1d 6096 . . . . . . 7
8 simpll 731 . . . . . . . . 9
91, 2grpass 14819 . . . . . . . . 9
108, 9sylan 458 . . . . . . . 8
11 simplr1 999 . . . . . . . 8
12 simplr3 1001 . . . . . . . 8
13 simprll 739 . . . . . . . 8
1410, 11, 12, 13caovassd 6246 . . . . . . 7
15 simplr2 1000 . . . . . . . 8
1610, 15, 12, 13caovassd 6246 . . . . . . 7
177, 14, 163eqtr3d 2476 . . . . . 6
181, 2grpcl 14818 . . . . . . . . . 10
198, 18syl3an1 1217 . . . . . . . . 9
201, 3grpidcl 14833 . . . . . . . . . 10
218, 20syl 16 . . . . . . . . 9
221, 2, 3grplid 14835 . . . . . . . . . 10
238, 22sylan 458 . . . . . . . . 9
241, 2, 3grpinvex 14820 . . . . . . . . . 10
258, 24sylan 458 . . . . . . . . 9
26 simpr 448 . . . . . . . . 9
2713adantr 452 . . . . . . . . 9
28 simprlr 740 . . . . . . . . . 10
2928adantr 452 . . . . . . . . 9
3019, 21, 23, 10, 25, 26, 27, 29grprinvd 6286 . . . . . . . 8
3112, 30mpdan 650 . . . . . . 7
3231oveq2d 6097 . . . . . 6
3331oveq2d 6097 . . . . . 6
3417, 32, 333eqtr3d 2476 . . . . 5
351, 2, 3grprid 14836 . . . . . 6
368, 11, 35syl2anc 643 . . . . 5
371, 2, 3grprid 14836 . . . . . 6
388, 15, 37syl2anc 643 . . . . 5
3934, 36, 383eqtr3d 2476 . . . 4
4039expr 599 . . 3
415, 40rexlimddv 2834 . 2
42 oveq1 6088 . 2
4341, 42impbid1 195 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  c0g 13723  cgrp 14685 This theorem is referenced by:  grpinveu  14839  grpid  14840  grpsubrcan  14870  grpsubadd  14876  sylow1lem4  15235  rngcom  15692  rngrz  15701  lmodcom  15990  rhmunitinv  24260  isnumbasgrplem2  27246 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-riota 6549  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812
 Copyright terms: Public domain W3C validator