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Theorem grprcan 14515
Description: Right cancellation law for groups. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grprcan.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grprcan.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
grprcan  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  =  ( Y 
.+  Z )  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem grprcan
Dummy variables  v  u  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grprcan.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grprcan.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
41, 2, 3grpinvex 14497 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )
543ad2antr3 1122 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
6 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) )
76oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  y )  =  ( ( Y 
.+  Z )  .+  y ) )
8 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  G  e.  Grp )
91, 2grpass 14496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
108, 9sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
11 simplr1 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  X  e.  B )
12 simplr3 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  Z  e.  B )
13 simprll 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  y  e.  B )
1410, 11, 12, 13caovassd 6019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  y )  =  ( X  .+  ( Z  .+  y ) ) )
15 simplr2 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  Y  e.  B )
1610, 15, 12, 13caovassd 6019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
( Y  .+  Z
)  .+  y )  =  ( Y  .+  ( Z  .+  y ) ) )
177, 14, 163eqtr3d 2323 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( Z  .+  y ) )  =  ( Y  .+  ( Z  .+  y ) ) )
181, 2grpcl 14495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  ( u  .+  v
)  e.  B )
198, 18syl3an1 1215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  ( u  .+  v
)  e.  B )
201, 3grpidcl 14510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
218, 20syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
221, 2, 3grplid 14512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u
)  =  u )
238, 22sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  u  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u
)  =  u )
241, 2, 3grpinvex 14497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  E. v  e.  B  ( v  .+  u
)  =  ( 0g
`  G ) )
258, 24sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  u  e.  B )  ->  E. v  e.  B  ( v  .+  u
)  =  ( 0g
`  G ) )
26 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  Z  e.  B )
2713adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  y  e.  B )
28 simprlr 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
y  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
2928adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )
3019, 21, 23, 10, 25, 26, 27, 29grprinvd 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  ( Z  .+  y
)  =  ( 0g
`  G ) )
3112, 30mpdan 649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( Z  .+  y )  =  ( 0g `  G
) )
3231oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( Z  .+  y ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
3331oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( Y  .+  ( Z  .+  y ) )  =  ( Y  .+  ( 0g `  G ) ) )
3417, 32, 333eqtr3d 2323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( Y  .+  ( 0g `  G ) ) )
351, 2, 3grprid 14513 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
368, 11, 35syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
371, 2, 3grprid 14513 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
388, 15, 37syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
3934, 36, 383eqtr3d 2323 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  X  =  Y )
4039expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) ) )  ->  ( ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
)  ->  X  =  Y ) )
4140expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  y  e.  B )  ->  (
( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G )  -> 
( ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z )  ->  X  =  Y ) ) )
4241rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( E. y  e.  B  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G )  -> 
( ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z )  ->  X  =  Y ) ) )
435, 42mpd 14 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  =  ( Y 
.+  Z )  ->  X  =  Y )
)
44 oveq1 5865 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) )
4543, 44impbid1 194 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  =  ( Y 
.+  Z )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362
This theorem is referenced by:  grpinveu  14516  grpid  14517  grpsubrcan  14547  grpsubadd  14553  sylow1lem4  14912  rngcom  15369  rngrz  15378  lmodcom  15671  isnumbasgrplem2  27269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489
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