MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grprid Unicode version

Theorem grprid 14765
Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpbn0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplid.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grplid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
grprid  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )

Proof of Theorem grprid
StepHypRef Expression
1 grpmnd 14746 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grplid.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 grplid.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
52, 3, 4mndrid 14646 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
61, 5sylan 458 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   0gc0g 13652   Mndcmnd 14613   Grpcgrp 14614
This theorem is referenced by:  grprcan  14767  grpinvid1  14782  grpinvid2  14783  grpsubid1  14803  grpsubadd  14805  grppncan  14808  mulgdirlem  14843  nmzsubg  14910  0nsg  14914  cayleylem2  15040  cntzsubg  15064  odbezout  15123  lsmdisj2  15243  pj1lid  15262  frgpuplem  15333  abladdsub4  15367  odadd2  15393  gex2abl  15395  rnglz  15629  isabvd  15837  lmod0vrid  15910  islmhm2  16043  mplcoe1  16457  lsmcss  16844  opnsubg  18060  tgpconcompeqg  18064  snclseqg  18068  deg1add  19895  lflmul  29185  cdlemn4  31315  mapdh6cN  31855  hdmap1l6c  31930  hdmapinvlem3  32040  hdmapinvlem4  32041  hdmapglem7b  32048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fv 5404  df-ov 6025  df-riota 6487  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-grp 14741
  Copyright terms: Public domain W3C validator