Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpss Structured version   Unicode version

Theorem grpss 14826
 Description: Show that a structure extending a constructed group (e.g. a ring) is also a group. This allows us to prove that a constructed potential ring is a group before we know that it is also a ring. (Theorem rnggrp 15669, on the other hand, requires that we know in advance that is a ring.) (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
grpss.g
grpss.r
grpss.s
grpss.f
Assertion
Ref Expression
grpss

Proof of Theorem grpss
StepHypRef Expression
1 grpss.r . . . 4
2 grpss.f . . . 4
3 grpss.s . . . 4
4 baseid 13511 . . . 4 Slot
5 opex 4427 . . . . . 6
65prid1 3912 . . . . 5
7 grpss.g . . . . 5
86, 7eleqtrri 2509 . . . 4
91, 2, 3, 4, 8strss 13504 . . 3
10 plusgid 13564 . . . 4 Slot
11 opex 4427 . . . . . 6
1211prid2 3913 . . . . 5
1312, 7eleqtrri 2509 . . . 4
141, 2, 3, 10, 13strss 13504 . . 3
159, 14grpprop 14824 . 2
1615bicomi 194 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   wss 3320  cpr 3815  cop 3817   wfun 5448  cfv 5454  cnx 13466  cbs 13469   cplusg 13529  cgrp 14685 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812
 Copyright terms: Public domain W3C validator