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Theorem grpsubadd 14803
Description: Relationship between group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubadd  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  ( Z  .+  Y )  =  X ) )

Proof of Theorem grpsubadd
StepHypRef Expression
1 grpsubadd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpsubadd.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
4 grpsubadd.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  G )
51, 2, 3, 4grpsubval 14775 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
653adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
76adantl 453 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X  .+  (
( inv g `  G ) `  Y
) ) )
87eqeq1d 2395 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  =  Z ) )
9 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
10 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
111, 3grpinvcl 14777 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B )
12113ad2antr2 1123 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B )
131, 2grpcl 14745 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B )  ->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  e.  B
)
149, 10, 12, 13syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) )  e.  B )
15 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
16 simpr2 964 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
171, 2grprcan 14765 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  =  Z ) )
189, 14, 15, 16, 17syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  =  Z ) )
191, 2grpass 14746 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) 
.+  Y )  =  ( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  Y
)  .+  Y )
) )
209, 10, 12, 16, 19syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  (
( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( X 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  Y )  .+  Y ) ) )
21 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
221, 2, 21, 3grplinv 14778 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 Y )  .+  Y )  =  ( 0g `  G ) )
23223ad2antr2 1123 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Y
)  .+  Y )  =  ( 0g `  G ) )
2423oveq2d 6036 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .+  ( ( ( inv g `  G
) `  Y )  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
251, 2, 21grprid 14763 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
26253ad2antr1 1122 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
2720, 24, 263eqtrd 2423 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  (
( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  X )
2827eqeq1d 2395 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  X  =  ( Z  .+  Y ) ) )
298, 18, 283bitr2d 273 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  X  =  ( Z  .+  Y ) ) )
30 eqcom 2389 . 2  |-  ( X  =  ( Z  .+  Y )  <->  ( Z  .+  Y )  =  X )
3129, 30syl6bb 253 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  ( Z  .+  Y )  =  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   0gc0g 13650   Grpcgrp 14612   inv gcminusg 14613   -gcsg 14615
This theorem is referenced by:  grpsubsub4  14808  conjghm  14963  conjnmzb  14967  sylow3lem2  15189  ablsubadd  15363  pgpfac1lem2  15560  pgpfac1lem4  15563  lspexch  16128  coe1subfv  16586  ipsubdir  16796  ipsubdi  16797
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741
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