MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubadd Structured version   Unicode version

Theorem grpsubadd 14866
Description: Relationship between group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubadd  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  ( Z  .+  Y )  =  X ) )

Proof of Theorem grpsubadd
StepHypRef Expression
1 grpsubadd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpsubadd.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
4 grpsubadd.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  G )
51, 2, 3, 4grpsubval 14838 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
653adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
76adantl 453 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X  .+  (
( inv g `  G ) `  Y
) ) )
87eqeq1d 2443 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  =  Z ) )
9 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
10 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
111, 3grpinvcl 14840 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B )
12113ad2antr2 1123 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B )
131, 2grpcl 14808 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B )  ->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  e.  B
)
149, 10, 12, 13syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) )  e.  B )
15 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
16 simpr2 964 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
171, 2grprcan 14828 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  =  Z ) )
189, 14, 15, 16, 17syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  =  Z ) )
191, 2grpass 14809 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) 
.+  Y )  =  ( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  Y
)  .+  Y )
) )
209, 10, 12, 16, 19syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  (
( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( X 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  Y )  .+  Y ) ) )
21 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
221, 2, 21, 3grplinv 14841 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 Y )  .+  Y )  =  ( 0g `  G ) )
23223ad2antr2 1123 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Y
)  .+  Y )  =  ( 0g `  G ) )
2423oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .+  ( ( ( inv g `  G
) `  Y )  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
251, 2, 21grprid 14826 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
26253ad2antr1 1122 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
2720, 24, 263eqtrd 2471 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  (
( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  X )
2827eqeq1d 2443 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  X  =  ( Z  .+  Y ) ) )
298, 18, 283bitr2d 273 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  X  =  ( Z  .+  Y ) ) )
30 eqcom 2437 . 2  |-  ( X  =  ( Z  .+  Y )  <->  ( Z  .+  Y )  =  X )
3129, 30syl6bb 253 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  ( Z  .+  Y )  =  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13459   +g cplusg 13519   0gc0g 13713   Grpcgrp 14675   inv gcminusg 14676   -gcsg 14678
This theorem is referenced by:  grpsubsub4  14871  conjghm  15026  conjnmzb  15030  sylow3lem2  15252  ablsubadd  15426  pgpfac1lem2  15623  pgpfac1lem4  15626  lspexch  16191  coe1subfv  16649  ipsubdir  16863  ipsubdi  16864
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804
  Copyright terms: Public domain W3C validator