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Theorem grpsubadd 14569
Description: Relationship between group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubadd  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  ( Z  .+  Y )  =  X ) )

Proof of Theorem grpsubadd
StepHypRef Expression
1 grpsubadd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpsubadd.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
4 grpsubadd.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  G )
51, 2, 3, 4grpsubval 14541 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
653adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
76adantl 452 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X  .+  (
( inv g `  G ) `  Y
) ) )
87eqeq1d 2304 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  =  Z ) )
9 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
10 simpr1 961 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
111, 3grpinvcl 14543 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B )
12113ad2antr2 1121 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B )
131, 2grpcl 14511 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B )  ->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  e.  B
)
149, 10, 12, 13syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) )  e.  B )
15 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
16 simpr2 962 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
171, 2grprcan 14531 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  =  Z ) )
189, 14, 15, 16, 17syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  =  Z ) )
191, 2grpass 14512 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) 
.+  Y )  =  ( X  .+  (
( ( inv g `  G ) `  Y
)  .+  Y )
) )
209, 10, 12, 16, 19syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  (
( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( X 
.+  ( ( ( inv g `  G
) `  Y )  .+  Y ) ) )
21 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
221, 2, 21, 3grplinv 14544 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 Y )  .+  Y )  =  ( 0g `  G ) )
23223ad2antr2 1121 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Y
)  .+  Y )  =  ( 0g `  G ) )
2423oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .+  ( ( ( inv g `  G
) `  Y )  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
251, 2, 21grprid 14529 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
26253ad2antr1 1120 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
2720, 24, 263eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  (
( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  X )
2827eqeq1d 2304 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  X  =  ( Z  .+  Y ) ) )
298, 18, 283bitr2d 272 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  X  =  ( Z  .+  Y ) ) )
30 eqcom 2298 . 2  |-  ( X  =  ( Z  .+  Y )  <->  ( Z  .+  Y )  =  X )
3129, 30syl6bb 252 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  ( Z  .+  Y )  =  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   -gcsg 14381
This theorem is referenced by:  grpsubsub4  14574  conjghm  14729  conjnmzb  14733  sylow3lem2  14955  ablsubadd  15129  pgpfac1lem2  15326  pgpfac1lem4  15329  lspexch  15898  coe1subfv  16359  ipsubdir  16562  ipsubdi  16563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507
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