MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubcl Unicode version

Theorem grpsubcl 14562
Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem grpsubcl
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpsubcl.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
31, 2grpsubf 14561 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )
4 fovrn 6006 . 2  |-  ( ( 
.-  : ( B  X.  B ) --> B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( X  .-  Y )  e.  B
)
53, 4syl3an1 1215 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381
This theorem is referenced by:  grpsubsub  14570  grpsubsub4  14574  grpnpncan  14576  grpnnncan2  14577  nsgconj  14666  nsgacs  14669  nsgid  14679  ghmnsgpreima  14723  ghmeqker  14725  ghmf1  14727  conjghm  14729  conjnmz  14732  conjnmzb  14733  sylow3lem2  14955  abladdsub4  15131  abladdsub  15132  ablpncan3  15134  ablsubsub4  15136  ablpnpcan  15137  ablnnncan1  15140  lmodvsubcl  15686  lvecvscan2  15881  coe1subfv  16359  ipsubdir  16562  ipsubdi  16563  ip2subdi  16564  tgpconcomp  17811  ghmcnp  17813  nrmmetd  18113  ngpds2  18143  ngpds3  18145  isngp4  18149  nmsub  18160  nm2dif  18162  subgngp  18167  ngptgp  18168  nrgdsdi  18192  nrgdsdir  18193  nlmdsdi  18208  nlmdsdir  18209  nrginvrcnlem  18217  nmods  18269  tchcphlem1  18681  tchcph  18683  ipcnlem2  18687  evl1subd  19434  deg1sublt  19512  ply1divmo  19537  ply1divex  19538  r1pcl  19559  r1pid  19561  ply1remlem  19564  ig1peu  19573  dchr2sum  20528  lgsqrlem2  20597  lgsqrlem3  20598  lgsqrlem4  20599  idomrootle  27614  lclkrlem2m  32331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507
  Copyright terms: Public domain W3C validator