MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubcl Unicode version

Theorem grpsubcl 14546
Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem grpsubcl
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpsubcl.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
31, 2grpsubf 14545 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )
4 fovrn 5990 . 2  |-  ( ( 
.-  : ( B  X.  B ) --> B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( X  .-  Y )  e.  B
)
53, 4syl3an1 1215 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365
This theorem is referenced by:  grpsubsub  14554  grpsubsub4  14558  grpnpncan  14560  grpnnncan2  14561  nsgconj  14650  nsgacs  14653  nsgid  14663  ghmnsgpreima  14707  ghmeqker  14709  ghmf1  14711  conjghm  14713  conjnmz  14716  conjnmzb  14717  sylow3lem2  14939  abladdsub4  15115  abladdsub  15116  ablpncan3  15118  ablsubsub4  15120  ablpnpcan  15121  ablnnncan1  15124  lmodvsubcl  15670  lvecvscan2  15865  coe1subfv  16343  ipsubdir  16546  ipsubdi  16547  ip2subdi  16548  tgpconcomp  17795  ghmcnp  17797  nrmmetd  18097  ngpds2  18127  ngpds3  18129  isngp4  18133  nmsub  18144  nm2dif  18146  subgngp  18151  ngptgp  18152  nrgdsdi  18176  nrgdsdir  18177  nlmdsdi  18192  nlmdsdir  18193  nrginvrcnlem  18201  nmods  18253  tchcphlem1  18665  tchcph  18667  ipcnlem2  18671  evl1subd  19418  deg1sublt  19496  ply1divmo  19521  ply1divex  19522  r1pcl  19543  r1pid  19545  ply1remlem  19548  ig1peu  19557  dchr2sum  20512  lgsqrlem2  20581  lgsqrlem3  20582  lgsqrlem4  20583  idomrootle  27511  lclkrlem2m  31709
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491
  Copyright terms: Public domain W3C validator