MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubf Unicode version

Theorem grpsubf 14545
Description: Functionality of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubf  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )

Proof of Theorem grpsubf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
31, 2grpinvcl 14527 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
433adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
5 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
61, 5grpcl 14495 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) )  e.  B
)
74, 6syld3an3 1227 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
)  e.  B )
873expb 1152 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  e.  B )
98ralrimivva 2635 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) )  e.  B
)
10 grpsubcl.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
111, 5, 2, 10grpsubfval 14524 . . 3  |-  .-  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
) )
1211fmpt2 6191 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  e.  B  <->  .-  : ( B  X.  B ) --> B )
139, 12sylib 188 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   -gcsg 14365
This theorem is referenced by:  grpsubcl  14546  cnfldsub  16402  distgp  17782  indistgp  17783  clssubg  17791  tgphaus  17799  divstgplem  17803  nrmmetd  18097  isngp2  18119  isngp3  18120  ngpds  18125  ngptgp  18152  tngnm  18167  tngngp2  18168
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491
  Copyright terms: Public domain W3C validator