MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubf Structured version   Unicode version

Theorem grpsubf 14870
Description: Functionality of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubf  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )

Proof of Theorem grpsubf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
31, 2grpinvcl 14852 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
433adant2 977 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
5 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
61, 5grpcl 14820 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) )  e.  B
)
74, 6syld3an3 1230 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
)  e.  B )
873expb 1155 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  e.  B )
98ralrimivva 2800 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) )  e.  B
)
10 grpsubcl.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
111, 5, 2, 10grpsubfval 14849 . . 3  |-  .-  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
) )
1211fmpt2 6420 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  e.  B  <->  .-  : ( B  X.  B ) --> B )
139, 12sylib 190 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    X. cxp 4878   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   Grpcgrp 14687   inv gcminusg 14688   -gcsg 14690
This theorem is referenced by:  grpsubcl  14871  cnfldsub  16731  distgp  18131  indistgp  18132  clssubg  18140  tgphaus  18148  divstgplem  18152  nrmmetd  18624  isngp2  18646  isngp3  18647  ngpds  18652  ngptgp  18679  tngnm  18694  tngngp2  18695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816
  Copyright terms: Public domain W3C validator