MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubinv Unicode version

Theorem grpsubinv 14792
Description: Subtraction of an inverse. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubinv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubinv.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubinv.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
grpsubinv.n  |-  N  =  ( inv g `  G )
grpsubinv.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
grpsubinv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
grpsubinv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
grpsubinv  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( N `  Y )
)  =  ( X 
.+  Y ) )

Proof of Theorem grpsubinv
StepHypRef Expression
1 grpsubinv.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
2 grpsubinv.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
3 grpsubinv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
4 grpsubinv.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpsubinv.n . . . . 5  |-  N  =  ( inv g `  G )
64, 5grpinvcl 14778 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
72, 3, 6syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
8 grpsubinv.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
9 grpsubinv.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
104, 8, 5, 9grpsubval 14776 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( N `  Y )  e.  B )  -> 
( X  .-  ( N `  Y )
)  =  ( X 
.+  ( N `  ( N `  Y ) ) ) )
111, 7, 10syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( N `  Y )
)  =  ( X 
.+  ( N `  ( N `  Y ) ) ) )
124, 5grpinvinv 14786 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( N `  Y )
)  =  Y )
132, 3, 12syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( N `  Y )
)  =  Y )
1413oveq2d 6037 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  ( N `  ( N `  Y ) ) )  =  ( X  .+  Y ) )
1511, 14eqtrd 2420 1  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( N `  Y )
)  =  ( X 
.+  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   Grpcgrp 14613   inv gcminusg 14614   -gcsg 14616
This theorem is referenced by:  issubg4  14889  isnsg3  14902  lsmelvalm  15213  ablsub2inv  15363  ablsubsub4  15371  istgp2  18043  nmtri  18544  baerlem5amN  31832  baerlem5abmN  31834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742
  Copyright terms: Public domain W3C validator