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Theorem grpsubsub4 14810
Description: Double group subtraction (subsub4 9268 analog). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubsub4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  .-  Z )  =  ( X  .-  ( Z  .+  Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubsub4
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
2 grpsubadd.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grpsubadd.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  G )
42, 3grpsubcl 14798 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )
543adant3r3 1164 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .-  Y )  e.  B )
6 simpr3 965 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
7 grpsubadd.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  G )
82, 7, 3grpnpcan 14809 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  .-  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  .+  Z )  =  ( X  .-  Y ) )
91, 5, 6, 8syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  .+  Z )  =  ( X  .-  Y ) )
109oveq1d 6037 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  .-  Z )  .+  Z
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.-  Y )  .+  Y ) )
112, 3grpsubcl 14798 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  .-  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .-  Y
)  .-  Z )  e.  B )
121, 5, 6, 11syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  .-  Z )  e.  B )
13 simpr2 964 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
142, 7grpass 14748 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( X 
.-  Y )  .-  Z )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  .-  Z )  .+  Z
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .-  Y ) 
.-  Z )  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
151, 12, 6, 13, 14syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  .-  Z )  .+  Z
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .-  Y ) 
.-  Z )  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
162, 7, 3grpnpcan 14809 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .-  Y )  .+  Y
)  =  X )
17163adant3r3 1164 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  .+  Y )  =  X )
1810, 15, 173eqtr3d 2429 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  X )
19 simpr1 963 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
202, 7grpcl 14747 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  .+  Y
)  e.  B )
211, 6, 13, 20syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Z  .+  Y )  e.  B )
222, 7, 3grpsubadd 14805 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  ( Z  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  <->  ( ( ( X  .-  Y ) 
.-  Z )  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  X ) )
231, 19, 21, 12, 22syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( X 
.-  Y )  .-  Z )  <->  ( (
( X  .-  Y
)  .-  Z )  .+  ( Z  .+  Y
) )  =  X ) )
2418, 23mpbird 224 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( X  .-  Y )  .-  Z
) )
2524eqcomd 2394 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  .-  Z )  =  ( X  .-  ( Z  .+  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   Grpcgrp 14614   -gcsg 14617
This theorem is referenced by:  grppnpcan2  14811  grpnnncan2  14813  sylow3lem1  15190  subgdisj1  15252  pjthlem2  19208  ply1divex  19928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743
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