MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubval Structured version   Unicode version

Theorem grpsubval 14848
Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubval.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubval.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubval.i  |-  I  =  ( inv g `  G )
grpsubval.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubval  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( I `  Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6088 . 2  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .+  ( I `  y ) )  =  ( X  .+  (
I `  y )
) )
2 fveq2 5728 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  (
I `  y )  =  ( I `  Y ) )
32oveq2d 6097 . 2  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  ( I `  y ) )  =  ( X  .+  (
I `  Y )
) )
4 grpsubval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpsubval.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 grpsubval.i . . 3  |-  I  =  ( inv g `  G )
7 grpsubval.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
84, 5, 6, 7grpsubfval 14847 . 2  |-  .-  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  .+  (
I `  y )
) )
9 ovex 6106 . 2  |-  ( X 
.+  ( I `  Y ) )  e. 
_V
101, 3, 8, 9ovmpt2 6209 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( I `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   inv gcminusg 14686   -gcsg 14688
This theorem is referenced by:  grpsubinv  14864  grpsubrcan  14870  grpinvsub  14871  grpinvval2  14872  grpsubid  14873  grpsubid1  14874  grpsubeq0  14875  grpsubadd  14876  grpsubsub  14877  grpaddsubass  14878  grpnpcan  14880  mulgsubdir  14921  pwssub  14931  subgsubcl  14955  subgsub  14956  issubg4  14961  divssub  15000  ghmsub  15014  sylow2blem1  15254  lsmelvalm  15285  ablsub2inv  15435  ablsub4  15437  ablsubsub4  15443  mulgsubdi  15452  eqgabl  15454  gsumsub  15542  dprdfsub  15579  rngsubdi  15708  rngsubdir  15709  abvsubtri  15923  lmodvsubval2  15999  lmodsubdir  16002  lspsntrim  16170  lidlsubcl  16287  cnfldsub  16729  tgpconcomp  18142  tsmssub  18178  tsmsxplem1  18182  isngp4  18658  ngpsubcan  18660  ngptgp  18677  deg1suble  20030  deg1sub  20031  dchr2sum  21057  lflsub  29865  ldualvsubval  29955  lcdvsubval  32416  baerlem3lem1  32505  baerlem5alem1  32506  baerlem5amN  32514  baerlem5bmN  32515  baerlem5abmN  32516  hdmapsub  32648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-sbg 14814
  Copyright terms: Public domain W3C validator