MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubval Unicode version

Theorem grpsubval 14541
Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubval.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubval.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubval.i  |-  I  =  ( inv g `  G )
grpsubval.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubval  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( I `  Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5881 . 2  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .+  ( I `  y ) )  =  ( X  .+  (
I `  y )
) )
2 fveq2 5541 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  (
I `  y )  =  ( I `  Y ) )
32oveq2d 5890 . 2  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  ( I `  y ) )  =  ( X  .+  (
I `  Y )
) )
4 grpsubval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpsubval.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 grpsubval.i . . 3  |-  I  =  ( inv g `  G )
7 grpsubval.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
84, 5, 6, 7grpsubfval 14540 . 2  |-  .-  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  .+  (
I `  y )
) )
9 ovex 5899 . 2  |-  ( X 
.+  ( I `  Y ) )  e. 
_V
101, 3, 8, 9ovmpt2 5999 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( I `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   inv gcminusg 14379   -gcsg 14381
This theorem is referenced by:  grpsubinv  14557  grpsubrcan  14563  grpinvsub  14564  grpinvval2  14565  grpsubid  14566  grpsubid1  14567  grpsubeq0  14568  grpsubadd  14569  grpsubsub  14570  grpaddsubass  14571  grpnpcan  14573  mulgsubdir  14614  pwssub  14624  subgsubcl  14648  subgsub  14649  issubg4  14654  divssub  14693  ghmsub  14707  sylow2blem1  14947  lsmelvalm  14978  ablsub2inv  15128  ablsub4  15130  ablsubsub4  15136  mulgsubdi  15145  eqgabl  15147  gsumsub  15235  dprdfsub  15272  rngsubdi  15401  rngsubdir  15402  abvsubtri  15616  lmodvsubval2  15696  lmodsubdir  15699  lspsntrim  15867  lidlsubcl  15984  cnfldsub  16418  tgpconcomp  17811  tsmssub  17847  tsmsxplem1  17851  isngp4  18149  ngpsubcan  18151  ngptgp  18168  deg1suble  19509  deg1sub  19510  dchr2sum  20528  lflsub  29879  ldualvsubval  29969  lcdvsubval  32430  baerlem3lem1  32519  baerlem5alem1  32520  baerlem5amN  32528  baerlem5bmN  32529  baerlem5abmN  32530  hdmapsub  32662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-sbg 14507
  Copyright terms: Public domain W3C validator