MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubval Unicode version

Theorem grpsubval 14525
Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubval.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubval.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubval.i  |-  I  =  ( inv g `  G )
grpsubval.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubval  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( I `  Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5865 . 2  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .+  ( I `  y ) )  =  ( X  .+  (
I `  y )
) )
2 fveq2 5525 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  (
I `  y )  =  ( I `  Y ) )
32oveq2d 5874 . 2  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  ( I `  y ) )  =  ( X  .+  (
I `  Y )
) )
4 grpsubval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpsubval.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 grpsubval.i . . 3  |-  I  =  ( inv g `  G )
7 grpsubval.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
84, 5, 6, 7grpsubfval 14524 . 2  |-  .-  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  .+  (
I `  y )
) )
9 ovex 5883 . 2  |-  ( X 
.+  ( I `  Y ) )  e. 
_V
101, 3, 8, 9ovmpt2 5983 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( I `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   inv gcminusg 14363   -gcsg 14365
This theorem is referenced by:  grpsubinv  14541  grpsubrcan  14547  grpinvsub  14548  grpinvval2  14549  grpsubid  14550  grpsubid1  14551  grpsubeq0  14552  grpsubadd  14553  grpsubsub  14554  grpaddsubass  14555  grpnpcan  14557  mulgsubdir  14598  pwssub  14608  subgsubcl  14632  subgsub  14633  issubg4  14638  divssub  14677  ghmsub  14691  sylow2blem1  14931  lsmelvalm  14962  ablsub2inv  15112  ablsub4  15114  ablsubsub4  15120  mulgsubdi  15129  eqgabl  15131  gsumsub  15219  dprdfsub  15256  rngsubdi  15385  rngsubdir  15386  abvsubtri  15600  lmodvsubval2  15680  lmodsubdir  15683  lspsntrim  15851  lidlsubcl  15968  cnfldsub  16402  tgpconcomp  17795  tsmssub  17831  tsmsxplem1  17835  isngp4  18133  ngpsubcan  18135  ngptgp  18152  deg1suble  19493  deg1sub  19494  dchr2sum  20512  lflsub  29257  ldualvsubval  29347  lcdvsubval  31808  baerlem3lem1  31897  baerlem5alem1  31898  baerlem5amN  31906  baerlem5bmN  31907  baerlem5abmN  31908  hdmapsub  32040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-sbg 14491
  Copyright terms: Public domain W3C validator