MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruixp Unicode version

Theorem gruixp 8447
Description: A Grothendieck's universe contains indexed cartesian products of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
gruixp  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  A. x  e.  A  B  e.  U )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  U )
Distinct variable groups:    x, U    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem gruixp
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  A. x  e.  A  B  e.  U )  ->  U  e.  Univ )
2 gruiun 8437 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  A. x  e.  A  B  e.  U )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  U )
3 simp2 956 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  A. x  e.  A  B  e.  U )  ->  A  e.  U )
4 grumap 8446 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U_ x  e.  A  B  e.  U  /\  A  e.  U )  ->  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A )  e.  U )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  A. x  e.  A  B  e.  U )  ->  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A )  e.  U )
6 ixpssmapg 6862 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  U  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
763ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  A. x  e.  A  B  e.  U )  ->  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )
8 gruss 8434 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A )  e.  U  /\  X_ x  e.  A  B  C_  ( U_ x  e.  A  B  ^m  A ) )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  U )
91, 5, 7, 8syl3anc 1182 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  A. x  e.  A  B  e.  U )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   U_ciun 3921  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   X_cixp 6833   Univcgru 8428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-gru 8429
  Copyright terms: Public domain W3C validator