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Theorem grupr 8419
Description: A Grothendieck's universe contains pairs derived from its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grupr  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  B  e.  U )  ->  { A ,  B }  e.  U
)

Proof of Theorem grupr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elgrug 8414 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( U  e.  Univ  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
) ) ) )
21ibi 232 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
) )
32simprd 449 . . . . 5  |-  ( U  e.  Univ  ->  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
)
4 preq2 3707 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  { x ,  y }  =  { x ,  B } )
54eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( { x ,  y }  e.  U  <->  { x ,  B }  e.  U
) )
65rspccv 2881 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  ->  ( B  e.  U  ->  { x ,  B }  e.  U ) )
763ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
)  ->  ( B  e.  U  ->  { x ,  B }  e.  U
) )
87com12 27 . . . . . 6  |-  ( B  e.  U  ->  (
( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U )  ->  { x ,  B }  e.  U
) )
98ralimdv 2622 . . . . 5  |-  ( B  e.  U  ->  ( A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
)  ->  A. x  e.  U  { x ,  B }  e.  U
) )
103, 9syl5com 26 . . . 4  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( B  e.  U  ->  A. x  e.  U  { x ,  B }  e.  U
) )
11 preq1 3706 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  { x ,  B }  =  { A ,  B }
)
1211eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( { x ,  B }  e.  U  <->  { A ,  B }  e.  U
) )
1312rspccv 2881 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U  {
x ,  B }  e.  U  ->  ( A  e.  U  ->  { A ,  B }  e.  U
) )
1410, 13syl6 29 . . 3  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( B  e.  U  ->  ( A  e.  U  ->  { A ,  B }  e.  U ) ) )
1514com23 72 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( A  e.  U  ->  ( B  e.  U  ->  { A ,  B }  e.  U ) ) )
16153imp 1145 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  B  e.  U )  ->  { A ,  B }  e.  U
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ~Pcpw 3625   {cpr 3641   U.cuni 3827   Tr wtr 4113   ran crn 4690  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Univcgru 8412
This theorem is referenced by:  grusn  8426  gruop  8427  gruun  8428  gruwun  8435  intgru  8436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-tr 4114  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-gru 8413
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