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Theorem grupr 8672
Description: A Grothendieck's universe contains pairs derived from its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grupr  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  B  e.  U )  ->  { A ,  B }  e.  U
)

Proof of Theorem grupr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elgrug 8667 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( U  e.  Univ  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
) ) ) )
21ibi 233 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
) )
32simprd 450 . . . . 5  |-  ( U  e.  Univ  ->  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
)
4 preq2 3884 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  { x ,  y }  =  { x ,  B } )
54eleq1d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( { x ,  y }  e.  U  <->  { x ,  B }  e.  U
) )
65rspccv 3049 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  ->  ( B  e.  U  ->  { x ,  B }  e.  U ) )
763ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
)  ->  ( B  e.  U  ->  { x ,  B }  e.  U
) )
87com12 29 . . . . . 6  |-  ( B  e.  U  ->  (
( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U )  ->  { x ,  B }  e.  U
) )
98ralimdv 2785 . . . . 5  |-  ( B  e.  U  ->  ( A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
)  ->  A. x  e.  U  { x ,  B }  e.  U
) )
103, 9syl5com 28 . . . 4  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( B  e.  U  ->  A. x  e.  U  { x ,  B }  e.  U
) )
11 preq1 3883 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  { x ,  B }  =  { A ,  B }
)
1211eleq1d 2502 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( { x ,  B }  e.  U  <->  { A ,  B }  e.  U
) )
1312rspccv 3049 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U  {
x ,  B }  e.  U  ->  ( A  e.  U  ->  { A ,  B }  e.  U
) )
1410, 13syl6 31 . . 3  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( B  e.  U  ->  ( A  e.  U  ->  { A ,  B }  e.  U ) ) )
1514com23 74 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( A  e.  U  ->  ( B  e.  U  ->  { A ,  B }  e.  U ) ) )
16153imp 1147 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  B  e.  U )  ->  { A ,  B }  e.  U
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   ~Pcpw 3799   {cpr 3815   U.cuni 4015   Tr wtr 4302   ran crn 4879  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018   Univcgru 8665
This theorem is referenced by:  grusn  8679  gruop  8680  gruun  8681  gruwun  8688  intgru  8689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-tr 4303  df-iota 5418  df-fv 5462  df-ov 6084  df-gru 8666
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