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Theorem grur1 8695
Description: A characterization of Grothendieck's universes, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1  |-  A  =  ( U  i^i  On )
Assertion
Ref Expression
grur1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U  =  ( R1 `  A ) )

Proof of Theorem grur1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nss 3406 . . . . 5  |-  ( -.  U  C_  ( R1 `  A )  <->  E. x
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A ) ) )
2 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( rank `  y )  =  ( rank `  x
) )
32eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( rank `  y )  =  A  <->  ( rank `  x
)  =  A ) )
43rspcev 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  U  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A )
54ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U  ->  (
( rank `  x )  =  A  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
65ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
7 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  U  e.  U. ( R1 " On ) )
8 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  x  e.  U )
9 r1elssi 7731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  U. ( R1
" On )  ->  U  C_  U. ( R1
" On ) )
109sseld 3347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  U  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) ) )
117, 8, 10sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
12 tcrank 7808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  x )  =  ( rank " ( TC `  x ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( rank `  x )  =  ( rank " ( TC `  x ) ) )
1413eleq2d 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( A  e.  (
rank `  x )  <->  A  e.  ( rank " ( TC `  x ) ) ) )
15 gruelss 8669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  x  C_  U )
16 grutr 8668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  Univ  ->  Tr  U
)
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  Tr  U )
18 vex 2959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
19 tcmin 7680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( x  C_  U  /\  Tr  U )  -> 
( TC `  x
)  C_  U )
)
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  U  /\  Tr  U )  ->  ( TC `  x )  C_  U )
2115, 17, 20syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( TC `  x )  C_  U )
22 rankf 7720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  rank : U. ( R1 " On ) --> On
23 ffun 5593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  Fun  rank )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  rank
25 fvelima 5778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  rank  /\  A  e.  ( rank " ( TC `  x ) ) )  ->  E. y  e.  ( TC `  x
) ( rank `  y
)  =  A )
2624, 25mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( rank " ( TC `  x ) )  ->  E. y  e.  ( TC `  x ) ( rank `  y
)  =  A )
27 ssrexv 3408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( TC `  x ) 
C_  U  ->  ( E. y  e.  ( TC `  x ) (
rank `  y )  =  A  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
2821, 26, 27syl2im 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( A  e.  ( rank " ( TC `  x
) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
2928ad2ant2r 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( A  e.  (
rank " ( TC `  x ) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
3014, 29sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( A  e.  (
rank `  x )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
31 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  -.  x  e.  ( R1 `  A ) )
32 ne0i 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
33 gruina.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  =  ( U  i^i  On )
3433gruina 8693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  A  e.  Inacc )
3532, 34sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  A  e.  Inacc )
36 inawina 8565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  Inacc W )
37 winaon 8563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  A  e.  On )
3835, 36, 373syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  A  e.  On )
39 r1fnon 7693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R1  Fn  On
40 fndm 5544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  R1  =  On
4238, 41syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  A  e.  dom  R1 )
4342ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
44 rankr1ag 7728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ( rank `  x
)  e.  A ) )
4511, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( x  e.  ( R1 `  A )  <-> 
( rank `  x )  e.  A ) )
4631, 45mtbid 292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  -.  ( rank `  x
)  e.  A )
47 rankon 7721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank `  x )  e.  On
48 eloni 4591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank `  x )  e.  On  ->  Ord  ( rank `  x ) )
49 eloni 4591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
50 ordtri3or 4613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  ( rank `  x
)  /\  Ord  A )  ->  ( ( rank `  x )  e.  A  \/  ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) )
5148, 49, 50syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( rank `  x
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( rank `  x
)  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) )
5247, 38, 51sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  (
( rank `  x )  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) )
53 3orass 939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rank `  x
)  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) )  <->  ( ( rank `  x )  e.  A  \/  ( (
rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) ) )
5452, 53sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  (
( rank `  x )  e.  A  \/  (
( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) ) )
5554ord 367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( -.  ( rank `  x
)  e.  A  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) ) )
5655ad2ant2r 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( -.  ( rank `  x )  e.  A  ->  ( ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) ) )
5746, 56mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) )
586, 30, 57mpjaod 371 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A )
5958ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  (
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
6059exlimdv 1646 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( E. x ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
611, 60syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( -.  U  C_  ( R1
`  A )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
62 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  U  e.  Univ )
63 ne0i 3634 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
6463, 34sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  y  e.  U )  ->  A  e.  Inacc )
6564ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  e.  Inacc )
6665, 36, 373syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  e.  On )
67 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  y  e.  U )
68 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  y )  =  A  ->  ( cf `  ( rank `  y
) )  =  ( cf `  A ) )
6968ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  ( cf `  ( rank `  y
) )  =  ( cf `  A ) )
70 elina 8562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Inacc 
<->  ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. x  e.  A  ~P x  ~<  A ) )
7170simp2bi 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( cf `  A )  =  A )
7265, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  ( cf `  A )  =  A )
7369, 72eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  ( cf `  ( rank `  y
) )  =  A )
74 rankcf 8652 . . . . . . . . 9  |-  -.  y  ~<  ( cf `  ( rank `  y ) )
75 fvex 5742 . . . . . . . . . 10  |-  ( cf `  ( rank `  y
) )  e.  _V
76 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
77 domtri 8431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cf `  ( rank `  y ) )  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  (
( cf `  ( rank `  y ) )  ~<_  y  <->  -.  y  ~<  ( cf `  ( rank `  y ) ) ) )
7875, 76, 77mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( cf `  ( rank `  y ) )  ~<_  y  <->  -.  y  ~<  ( cf `  ( rank `  y
) ) )
7974, 78mpbir 201 . . . . . . . 8  |-  ( cf `  ( rank `  y
) )  ~<_  y
8073, 79syl6eqbrr 4250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  ~<_  y )
81 grudomon 8692 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  On  /\  ( y  e.  U  /\  A  ~<_  y ) )  ->  A  e.  U )
8262, 66, 67, 80, 81syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  e.  U )
83 elin 3530 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( U  i^i  On )  <->  ( A  e.  U  /\  A  e.  On ) )
8483biimpri 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  ( U  i^i  On ) )
8584, 33syl6eleqr 2527 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  A )
86 ordirr 4599 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
8749, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  -.  A  e.  A )
8887adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  -.  A  e.  A
)
8985, 88pm2.21dd 101 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  U  C_  ( R1 `  A ) )
9082, 66, 89syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  U  C_  ( R1 `  A
) )
9190rexlimdvaa 2831 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A  ->  U  C_  ( R1 `  A ) ) )
9261, 91syld 42 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( -.  U  C_  ( R1
`  A )  ->  U  C_  ( R1 `  A ) ) )
9392pm2.18d 105 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U  C_  ( R1 `  A
) )
9433grur1a 8694 . . 3  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( R1
`  A )  C_  U )
9594adantr 452 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( R1 `  A )  C_  U )
9693, 95eqssd 3365 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U  =  ( R1 `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   class class class wbr 4212   Tr wtr 4302   Ord word 4580   Oncon0 4581   dom cdm 4878   "cima 4881   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454    ~<_ cdom 7107    ~< csdm 7108   TCctc 7675   R1cr1 7688   rankcrnk 7689   cfccf 7824   Inacc Wcwina 8557   Inacccina 8558   Univcgru 8665
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-ac2 8343
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-tc 7676  df-r1 7690  df-rank 7691  df-card 7826  df-cf 7828  df-acn 7829  df-ac 7997  df-wina 8559  df-ina 8560  df-gru 8666
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