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Theorem grur1 8442
Description: A characterization of Grothendieck's universes, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1  |-  A  =  ( U  i^i  On )
Assertion
Ref Expression
grur1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U  =  ( R1 `  A ) )

Proof of Theorem grur1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nss 3236 . . . . 5  |-  ( -.  U  C_  ( R1 `  A )  <->  E. x
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A ) ) )
2 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( rank `  y )  =  ( rank `  x
) )
32eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( rank `  y )  =  A  <->  ( rank `  x
)  =  A ) )
43rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  U  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A )
54ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U  ->  (
( rank `  x )  =  A  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
65ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
7 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  U  e.  U. ( R1 " On ) )
8 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  x  e.  U )
9 r1elssi 7477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  U. ( R1
" On )  ->  U  C_  U. ( R1
" On ) )
109sseld 3179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  U  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) ) )
117, 8, 10sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
12 tcrank 7554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  x )  =  ( rank " ( TC `  x ) ) )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( rank `  x )  =  ( rank " ( TC `  x ) ) )
1413eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( A  e.  (
rank `  x )  <->  A  e.  ( rank " ( TC `  x ) ) ) )
15 gruelss 8416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  x  C_  U )
1615ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  Univ  ->  A. x  e.  U  x  C_  U
)
17 dftr3 4117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  U  <->  A. x  e.  U  x  C_  U )
1816, 17sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  Univ  ->  Tr  U
)
1918adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  Tr  U )
20 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
21 tcmin 7426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( x  C_  U  /\  Tr  U )  -> 
( TC `  x
)  C_  U )
)
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  U  /\  Tr  U )  ->  ( TC `  x )  C_  U )
2315, 19, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( TC `  x )  C_  U )
24 rankf 7466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  rank : U. ( R1 " On ) --> On
25 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  Fun  rank )
2624, 25ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  rank
27 fvelima 5574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  rank  /\  A  e.  ( rank " ( TC `  x ) ) )  ->  E. y  e.  ( TC `  x
) ( rank `  y
)  =  A )
2826, 27mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( rank " ( TC `  x ) )  ->  E. y  e.  ( TC `  x ) ( rank `  y
)  =  A )
29 ssrexv 3238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( TC `  x ) 
C_  U  ->  ( E. y  e.  ( TC `  x ) (
rank `  y )  =  A  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
3023, 28, 29syl2im 34 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( A  e.  ( rank " ( TC `  x
) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
3130ad2ant2r 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( A  e.  (
rank " ( TC `  x ) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
3214, 31sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( A  e.  (
rank `  x )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
33 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  -.  x  e.  ( R1 `  A ) )
34 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
35 gruina.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  =  ( U  i^i  On )
3635gruina 8440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  A  e.  Inacc )
3734, 36sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  A  e.  Inacc )
38 inawina 8312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  Inacc W )
39 winaon 8310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Inacc W  ->  A  e.  On )
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  A  e.  On )
41 r1fnon 7439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R1  Fn  On
42 fndm 5343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  R1  =  On
4440, 43syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  A  e.  dom  R1 )
4544ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
46 rankr1ag 7474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ( rank `  x
)  e.  A ) )
4711, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( x  e.  ( R1 `  A )  <-> 
( rank `  x )  e.  A ) )
4833, 47mtbid 291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  -.  ( rank `  x
)  e.  A )
49 rankon 7467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank `  x )  e.  On
50 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank `  x )  e.  On  ->  Ord  ( rank `  x ) )
51 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
52 ordtri3or 4424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  ( rank `  x
)  /\  Ord  A )  ->  ( ( rank `  x )  e.  A  \/  ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) )
5350, 51, 52syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( rank `  x
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( rank `  x
)  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) )
5449, 40, 53sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  (
( rank `  x )  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) )
55 3orass 937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rank `  x
)  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) )  <->  ( ( rank `  x )  e.  A  \/  ( (
rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) ) )
5654, 55sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  (
( rank `  x )  e.  A  \/  (
( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) ) )
5756ord 366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( -.  ( rank `  x
)  e.  A  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) ) )
5857ad2ant2r 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( -.  ( rank `  x )  e.  A  ->  ( ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) ) )
5948, 58mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) )
606, 32, 59mpjaod 370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A )
6160ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  (
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
6261exlimdv 1664 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( E. x ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
631, 62syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( -.  U  C_  ( R1
`  A )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
64 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  U  e.  Univ )
65 ne0i 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
6665, 36sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  y  e.  U )  ->  A  e.  Inacc )
6766ad2ant2r 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  e.  Inacc )
6867, 38, 393syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  e.  On )
69 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  y  e.  U )
70 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  y )  =  A  ->  ( cf `  ( rank `  y
) )  =  ( cf `  A ) )
7170ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  ( cf `  ( rank `  y
) )  =  ( cf `  A ) )
72 elina 8309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Inacc 
<->  ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. x  e.  A  ~P x  ~<  A ) )
7372simp2bi 971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( cf `  A )  =  A )
7467, 73syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  ( cf `  A )  =  A )
7571, 74eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  ( cf `  ( rank `  y
) )  =  A )
76 rankcf 8399 . . . . . . . . . 10  |-  -.  y  ~<  ( cf `  ( rank `  y ) )
77 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( cf `  ( rank `  y
) )  e.  _V
78 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
79 domtri 8178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( cf `  ( rank `  y ) )  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  (
( cf `  ( rank `  y ) )  ~<_  y  <->  -.  y  ~<  ( cf `  ( rank `  y ) ) ) )
8077, 78, 79mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( cf `  ( rank `  y ) )  ~<_  y  <->  -.  y  ~<  ( cf `  ( rank `  y
) ) )
8176, 80mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  ( cf `  ( rank `  y
) )  ~<_  y
8275, 81syl6eqbrr 4061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  ~<_  y )
83 grudomon 8439 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  On  /\  ( y  e.  U  /\  A  ~<_  y ) )  ->  A  e.  U )
8464, 68, 69, 82, 83syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  e.  U )
85 elin 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( U  i^i  On )  <->  ( A  e.  U  /\  A  e.  On ) )
8685biimpri 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  ( U  i^i  On ) )
8786, 35syl6eleqr 2374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  A )
88 ordirr 4410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
8951, 88syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  -.  A  e.  A )
9089adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  -.  A  e.  A
)
9187, 90pm2.65i 165 . . . . . . . 8  |-  -.  ( A  e.  U  /\  A  e.  On )
9291pm2.21i 123 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  U  C_  ( R1 `  A ) )
9384, 68, 92syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  U  C_  ( R1 `  A
) )
9493exp32 588 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  (
y  e.  U  -> 
( ( rank `  y
)  =  A  ->  U  C_  ( R1 `  A ) ) ) )
9594rexlimdv 2666 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A  ->  U  C_  ( R1 `  A ) ) )
9663, 95syld 40 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( -.  U  C_  ( R1
`  A )  ->  U  C_  ( R1 `  A ) ) )
9796pm2.18d 103 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U  C_  ( R1 `  A
) )
9835grur1a 8441 . . 3  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( R1
`  A )  C_  U )
9998adantr 451 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( R1 `  A )  C_  U )
10097, 99eqssd 3196 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U  =  ( R1 `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   Tr wtr 4113   Ord word 4391   Oncon0 4392   dom cdm 4689   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   TCctc 7421   R1cr1 7434   rankcrnk 7435   cfccf 7570   Inacc Wcwina 8304   Inacccina 8305   Univcgru 8412
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-tc 7422  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-cf 7574  df-acn 7575  df-ac 7743  df-wina 8306  df-ina 8307  df-gru 8413
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