MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grutsk Unicode version

Theorem grutsk 8657
Description: Grothendieck's universes are the same as transitive Tarski's classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grutsk  |-  Univ  =  { x  e.  Tarski  |  Tr  x }

Proof of Theorem grutsk
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0tsk 8590 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Tarski
2 eleq1 2468 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  Tarski 
<->  (/)  e.  Tarski ) )
31, 2mpbiri 225 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  y  e. 
Tarski )
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  =  (/)  ->  y  e. 
Tarski ) )
5 vex 2923 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
6 unir1 7699 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
75, 6eleqtrri 2481 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
U. ( R1 " On )
8 eqid 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  On )  =  ( y  i^i  On )
98grur1 8655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  y  =  ( R1 `  ( y  i^i  On ) ) )
107, 9mpan2 653 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Univ  ->  y  =  ( R1 `  (
y  i^i  On )
) )
1110adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  =  ( R1 `  ( y  i^i  On ) ) )
128gruina 8653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
y  i^i  On )  e.  Inacc )
13 inatsk 8613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  On )  e.  Inacc  ->  ( R1 `  ( y  i^i  On ) )  e.  Tarski )
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( R1 `  ( y  i^i 
On ) )  e. 
Tarski )
1511, 14eqeltrd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  e.  Tarski )
1615ex 424 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  =/=  (/)  ->  y  e.  Tarski ) )
174, 16pm2.61dne 2648 . . . . 5  |-  ( y  e.  Univ  ->  y  e. 
Tarski )
18 grutr 8628 . . . . 5  |-  ( y  e.  Univ  ->  Tr  y
)
1917, 18jca 519 . . . 4  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y
) )
20 grutsk1 8656 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y )  ->  y  e.  Univ )
2119, 20impbii 181 . . 3  |-  ( y  e.  Univ  <->  ( y  e. 
Tarski  /\  Tr  y ) )
22 treq 4272 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( Tr  x  <->  Tr  y )
)
2322elrab 3056 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e. 
Tarski  |  Tr  x }  <->  ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y ) )
2421, 23bitr4i 244 . 2  |-  ( y  e.  Univ  <->  y  e.  {
x  e.  Tarski  |  Tr  x } )
2524eqriv 2405 1  |-  Univ  =  { x  e.  Tarski  |  Tr  x }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   {crab 2674   _Vcvv 2920    i^i cin 3283   (/)c0 3592   U.cuni 3979   Tr wtr 4266   Oncon0 4545   "cima 4844   ` cfv 5417   R1cr1 7648   Inacccina 8518   Tarskictsk 8583   Univcgru 8625
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-reg 7520  ax-inf2 7556  ax-ac2 8303
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-smo 6571  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-oi 7439  df-har 7486  df-tc 7636  df-r1 7650  df-rank 7651  df-card 7786  df-aleph 7787  df-cf 7788  df-acn 7789  df-ac 7957  df-wina 8519  df-ina 8520  df-tsk 8584  df-gru 8626
  Copyright terms: Public domain W3C validator