MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grutsk Unicode version

Theorem grutsk 8444
Description: Grothendieck's universes are the same as transitive Tarski's classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grutsk  |-  Univ  =  { x  e.  Tarski  |  Tr  x }

Proof of Theorem grutsk
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0tsk 8377 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Tarski
2 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  Tarski 
<->  (/)  e.  Tarski ) )
31, 2mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  y  e. 
Tarski )
43a1i 10 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  =  (/)  ->  y  e. 
Tarski ) )
5 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
6 unir1 7485 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
75, 6eleqtrri 2356 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
U. ( R1 " On )
8 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  On )  =  ( y  i^i  On )
98grur1 8442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  y  =  ( R1 `  ( y  i^i  On ) ) )
107, 9mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Univ  ->  y  =  ( R1 `  (
y  i^i  On )
) )
1110adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  =  ( R1 `  ( y  i^i  On ) ) )
128gruina 8440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
y  i^i  On )  e.  Inacc )
13 inatsk 8400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  On )  e.  Inacc  ->  ( R1 `  ( y  i^i  On ) )  e.  Tarski )
1412, 13syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( R1 `  ( y  i^i 
On ) )  e. 
Tarski )
1511, 14eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  e.  Tarski )
1615ex 423 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  =/=  (/)  ->  y  e.  Tarski ) )
174, 16pm2.61dne 2523 . . . . 5  |-  ( y  e.  Univ  ->  y  e. 
Tarski )
18 elgrug 8414 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  e.  Univ  <->  ( Tr  y  /\  A. x  e.  y  ( ~P x  e.  y  /\  A. z  e.  y  { x ,  z }  e.  y  /\  A. z  e.  ( y  ^m  x
) U. ran  z  e.  y ) ) ) )
1918ibi 232 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( Tr  y  /\  A. x  e.  y  ( ~P x  e.  y  /\  A. z  e.  y  {
x ,  z }  e.  y  /\  A. z  e.  ( y  ^m  x ) U. ran  z  e.  y )
) )
2019simpld 445 . . . . 5  |-  ( y  e.  Univ  ->  Tr  y
)
2117, 20jca 518 . . . 4  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y
) )
22 grutsk1 8443 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y )  ->  y  e.  Univ )
2321, 22impbii 180 . . 3  |-  ( y  e.  Univ  <->  ( y  e. 
Tarski  /\  Tr  y ) )
24 treq 4119 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( Tr  x  <->  Tr  y )
)
2524elrab 2923 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e. 
Tarski  |  Tr  x }  <->  ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y ) )
2623, 25bitr4i 243 . 2  |-  ( y  e.  Univ  <->  y  e.  {
x  e.  Tarski  |  Tr  x } )
2726eqriv 2280 1  |-  Univ  =  { x  e.  Tarski  |  Tr  x }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {cpr 3641   U.cuni 3827   Tr wtr 4113   Oncon0 4392   ran crn 4690   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   R1cr1 7434   Inacccina 8305   Tarskictsk 8370   Univcgru 8412
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-smo 6363  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-har 7272  df-tc 7422  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-aleph 7573  df-cf 7574  df-acn 7575  df-ac 7743  df-wina 8306  df-ina 8307  df-tsk 8371  df-gru 8413
  Copyright terms: Public domain W3C validator