Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grutsk Unicode version

Theorem grutsk 8534
 Description: Grothendieck's universes are the same as transitive Tarski's classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grutsk

Proof of Theorem grutsk
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0tsk 8467 . . . . . . . 8
2 eleq1 2418 . . . . . . . 8
31, 2mpbiri 224 . . . . . . 7
43a1i 10 . . . . . 6
5 vex 2867 . . . . . . . . . . 11
6 unir1 7575 . . . . . . . . . . 11
75, 6eleqtrri 2431 . . . . . . . . . 10
8 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11
98grur1 8532 . . . . . . . . . 10
107, 9mpan2 652 . . . . . . . . 9
1110adantr 451 . . . . . . . 8
128gruina 8530 . . . . . . . . 9
13 inatsk 8490 . . . . . . . . 9
1412, 13syl 15 . . . . . . . 8
1511, 14eqeltrd 2432 . . . . . . 7
1615ex 423 . . . . . 6
174, 16pm2.61dne 2598 . . . . 5
18 elgrug 8504 . . . . . . 7
1918ibi 232 . . . . . 6
2019simpld 445 . . . . 5
2117, 20jca 518 . . . 4
22 grutsk1 8533 . . . 4
2321, 22impbii 180 . . 3
24 treq 4200 . . . 4
2524elrab 2999 . . 3
2623, 25bitr4i 243 . 2
2726eqriv 2355 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521  wral 2619  crab 2623  cvv 2864   cin 3227  c0 3531  cpw 3701  cpr 3717  cuni 3908   wtr 4194  con0 4474   crn 4772  cima 4774  cfv 5337  (class class class)co 5945   cmap 6860  cr1 7524  cina 8395  ctsk 8460  cgru 8502 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-reg 7396  ax-inf2 7432  ax-ac2 8179 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-smo 6450  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-oi 7315  df-har 7362  df-tc 7512  df-r1 7526  df-rank 7527  df-card 7662  df-aleph 7663  df-cf 7664  df-acn 7665  df-ac 7833  df-wina 8396  df-ina 8397  df-tsk 8461  df-gru 8503
 Copyright terms: Public domain W3C validator