MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grutsk Unicode version

Theorem grutsk 8534
Description: Grothendieck's universes are the same as transitive Tarski's classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grutsk  |-  Univ  =  { x  e.  Tarski  |  Tr  x }

Proof of Theorem grutsk
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0tsk 8467 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Tarski
2 eleq1 2418 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  Tarski 
<->  (/)  e.  Tarski ) )
31, 2mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  y  e. 
Tarski )
43a1i 10 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  =  (/)  ->  y  e. 
Tarski ) )
5 vex 2867 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
6 unir1 7575 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
75, 6eleqtrri 2431 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
U. ( R1 " On )
8 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  On )  =  ( y  i^i  On )
98grur1 8532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  y  =  ( R1 `  ( y  i^i  On ) ) )
107, 9mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Univ  ->  y  =  ( R1 `  (
y  i^i  On )
) )
1110adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  =  ( R1 `  ( y  i^i  On ) ) )
128gruina 8530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
y  i^i  On )  e.  Inacc )
13 inatsk 8490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  On )  e.  Inacc  ->  ( R1 `  ( y  i^i  On ) )  e.  Tarski )
1412, 13syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( R1 `  ( y  i^i 
On ) )  e. 
Tarski )
1511, 14eqeltrd 2432 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  e.  Tarski )
1615ex 423 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  =/=  (/)  ->  y  e.  Tarski ) )
174, 16pm2.61dne 2598 . . . . 5  |-  ( y  e.  Univ  ->  y  e. 
Tarski )
18 elgrug 8504 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  e.  Univ  <->  ( Tr  y  /\  A. x  e.  y  ( ~P x  e.  y  /\  A. z  e.  y  { x ,  z }  e.  y  /\  A. z  e.  ( y  ^m  x
) U. ran  z  e.  y ) ) ) )
1918ibi 232 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( Tr  y  /\  A. x  e.  y  ( ~P x  e.  y  /\  A. z  e.  y  {
x ,  z }  e.  y  /\  A. z  e.  ( y  ^m  x ) U. ran  z  e.  y )
) )
2019simpld 445 . . . . 5  |-  ( y  e.  Univ  ->  Tr  y
)
2117, 20jca 518 . . . 4  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y
) )
22 grutsk1 8533 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y )  ->  y  e.  Univ )
2321, 22impbii 180 . . 3  |-  ( y  e.  Univ  <->  ( y  e. 
Tarski  /\  Tr  y ) )
24 treq 4200 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( Tr  x  <->  Tr  y )
)
2524elrab 2999 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e. 
Tarski  |  Tr  x }  <->  ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y ) )
2623, 25bitr4i 243 . 2  |-  ( y  e.  Univ  <->  y  e.  {
x  e.  Tarski  |  Tr  x } )
2726eqriv 2355 1  |-  Univ  =  { x  e.  Tarski  |  Tr  x }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   {crab 2623   _Vcvv 2864    i^i cin 3227   (/)c0 3531   ~Pcpw 3701   {cpr 3717   U.cuni 3908   Tr wtr 4194   Oncon0 4474   ran crn 4772   "cima 4774   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    ^m cmap 6860   R1cr1 7524   Inacccina 8395   Tarskictsk 8460   Univcgru 8502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-reg 7396  ax-inf2 7432  ax-ac2 8179
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-smo 6450  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-oi 7315  df-har 7362  df-tc 7512  df-r1 7526  df-rank 7527  df-card 7662  df-aleph 7663  df-cf 7664  df-acn 7665  df-ac 7833  df-wina 8396  df-ina 8397  df-tsk 8461  df-gru 8503
  Copyright terms: Public domain W3C validator