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Theorem gruurn 8507
Description: A Grothendieck's universe contains the range of any function which takes values in the universe (see gruiun 8508 for a more intuitive version). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
gruurn  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  F : A
--> U )  ->  U. ran  F  e.  U )

Proof of Theorem gruurn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapg 6870 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U )  ->  ( F  e.  ( U  ^m  A )  <->  F : A
--> U ) )
2 elgrug 8501 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( U  e.  Univ  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
) ) ) )
32ibi 232 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
) )
43simprd 449 . . . . 5  |-  ( U  e.  Univ  ->  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
)
5 rneq 4983 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  ran  y  =  ran  F )
65unieqd 3917 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  F  ->  U. ran  y  =  U. ran  F
)
76eleq1d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  F  ->  ( U. ran  y  e.  U  <->  U.
ran  F  e.  U
) )
87rspccv 2957 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U  ->  ( F  e.  ( U  ^m  x )  ->  U. ran  F  e.  U
) )
983ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
)  ->  ( F  e.  ( U  ^m  x
)  ->  U. ran  F  e.  U ) )
109ralimi 2694 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
)  ->  A. x  e.  U  ( F  e.  ( U  ^m  x
)  ->  U. ran  F  e.  U ) )
11 oveq2 5950 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( U  ^m  x )  =  ( U  ^m  A
) )
1211eleq2d 2425 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( F  e.  ( U  ^m  x )  <->  F  e.  ( U  ^m  A ) ) )
1312imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( F  e.  ( U  ^m  x )  ->  U. ran  F  e.  U )  <->  ( F  e.  ( U  ^m  A
)  ->  U. ran  F  e.  U ) ) )
1413rspccv 2957 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  U  ( F  e.  ( U  ^m  x )  ->  U. ran  F  e.  U )  -> 
( A  e.  U  ->  ( F  e.  ( U  ^m  A )  ->  U. ran  F  e.  U ) ) )
154, 10, 143syl 18 . . . 4  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( A  e.  U  ->  ( F  e.  ( U  ^m  A )  ->  U. ran  F  e.  U ) ) )
1615imp 418 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U )  ->  ( F  e.  ( U  ^m  A )  ->  U. ran  F  e.  U ) )
171, 16sylbird 226 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U )  ->  ( F : A --> U  ->  U. ran  F  e.  U
) )
18173impia 1148 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  F : A
--> U )  ->  U. ran  F  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   ~Pcpw 3701   {cpr 3717   U.cuni 3906   Tr wtr 4192   ran crn 4769   -->wf 5330  (class class class)co 5942    ^m cmap 6857   Univcgru 8499
This theorem is referenced by:  gruiun  8508  grurn  8510  intgru  8523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-tr 4193  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-map 6859  df-gru 8500
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