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Theorem gruurn 8629
Description: A Grothendieck's universe contains the range of any function which takes values in the universe (see gruiun 8630 for a more intuitive version). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
gruurn  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  F : A
--> U )  ->  U. ran  F  e.  U )

Proof of Theorem gruurn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapg 6990 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U )  ->  ( F  e.  ( U  ^m  A )  <->  F : A
--> U ) )
2 elgrug 8623 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( U  e.  Univ  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
) ) ) )
32ibi 233 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
) )
43simprd 450 . . . . 5  |-  ( U  e.  Univ  ->  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
)
5 rneq 5054 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  ran  y  =  ran  F )
65unieqd 3986 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  F  ->  U. ran  y  =  U. ran  F
)
76eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  F  ->  ( U. ran  y  e.  U  <->  U.
ran  F  e.  U
) )
87rspccv 3009 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U  ->  ( F  e.  ( U  ^m  x )  ->  U. ran  F  e.  U
) )
983ad2ant3 980 . . . . . 6  |-  ( ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
)  ->  ( F  e.  ( U  ^m  x
)  ->  U. ran  F  e.  U ) )
109ralimi 2741 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
)  ->  A. x  e.  U  ( F  e.  ( U  ^m  x
)  ->  U. ran  F  e.  U ) )
11 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( U  ^m  x )  =  ( U  ^m  A
) )
1211eleq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( F  e.  ( U  ^m  x )  <->  F  e.  ( U  ^m  A ) ) )
1312imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( F  e.  ( U  ^m  x )  ->  U. ran  F  e.  U )  <->  ( F  e.  ( U  ^m  A
)  ->  U. ran  F  e.  U ) ) )
1413rspccv 3009 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  U  ( F  e.  ( U  ^m  x )  ->  U. ran  F  e.  U )  -> 
( A  e.  U  ->  ( F  e.  ( U  ^m  A )  ->  U. ran  F  e.  U ) ) )
154, 10, 143syl 19 . . . 4  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( A  e.  U  ->  ( F  e.  ( U  ^m  A )  ->  U. ran  F  e.  U ) ) )
1615imp 419 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U )  ->  ( F  e.  ( U  ^m  A )  ->  U. ran  F  e.  U ) )
171, 16sylbird 227 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U )  ->  ( F : A --> U  ->  U. ran  F  e.  U
) )
18173impia 1150 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  F : A
--> U )  ->  U. ran  F  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   ~Pcpw 3759   {cpr 3775   U.cuni 3975   Tr wtr 4262   ran crn 4838   -->wf 5409  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   Univcgru 8621
This theorem is referenced by:  gruiun  8630  grurn  8632  intgru  8645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-gru 8622
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