MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum0 Unicode version

Theorem gsum0 14739
Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gsum0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
gsum0  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  .0.

Proof of Theorem gsum0
Dummy variables  f 
g  m  n  o  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2408 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 gsum0.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2408 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2408 . . 3  |-  { x  e.  ( Base `  G
)  |  A. y  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) }  =  { x  e.  ( Base `  G )  | 
A. y  e.  (
Base `  G )
( ( x ( +g  `  G ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G ) x )  =  y ) }
5 id 20 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  G  e.  _V )
6 0ex 4303 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
76a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (/)  e.  _V )
8 f0 5590 . . . 4  |-  (/) : (/) --> { x  e.  ( Base `  G )  |  A. y  e.  ( Base `  G ) ( ( x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) }
98a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (/) : (/) --> { x  e.  ( Base `  G )  |  A. y  e.  ( Base `  G ) ( ( x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) } )
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9gsumval1 14738 . 2  |-  ( G  e.  _V  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  .0.  )
11 df-gsum 13687 . . . . 5  |-  gsumg  =  ( w  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  [_ { x  e.  ( Base `  w
)  |  A. y  e.  ( Base `  w
) ( ( x ( +g  `  w
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  w
) x )  =  y ) }  / 
o ]_ if ( ran  f  C_  o , 
( 0g `  w
) ,  if ( dom  f  e.  ran  ...
,  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  f  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  w ) ,  f ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. g [. ( `' f " ( _V 
\  o ) )  /  y ]. (
g : ( 1 ... ( # `  y
) ) -1-1-onto-> y  /\  x  =  (  seq  1
( ( +g  `  w
) ,  ( f  o.  g ) ) `
 ( # `  y
) ) ) ) ) ) )
1211reldmmpt2 6144 . . . 4  |-  Rel  dom  gsumg
1312ovprc1 6072 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  (/) )
14 fvprc 5685 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( 0g `  G )  =  (/) )
152, 14syl5eq 2452 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .0.  =  (/) )
1613, 15eqtr4d 2443 . 2  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  .0.  )
1710, 16pm2.61i 158 1  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  .0.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671   {crab 2674   _Vcvv 2920   [.wsbc 3125   [_csb 3215    \ cdif 3281    C_ wss 3284   (/)c0 3592   ifcif 3703   `'ccnv 4840   dom cdm 4841   ran crn 4842   "cima 4844    o. ccom 4845   iotacio 5379   -->wf 5413   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   1c1 8951   ZZ>=cuz 10448   ...cfz 11003    seq cseq 11282   #chash 11577   Basecbs 13428   +g cplusg 13488   0gc0g 13682    gsumg cgsu 13683
This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  14743  gsumccat  14746  gsumwmhm  14749  gsumwspan  14750  frmdgsum  14766  frmdup1  14768  gsumwrev  15121  gsumconst  15491  mplmonmul  16486  mplcoe1  16487  mplcoe2  16489  gsumfsum  16725  tmdgsum  18082  xrge0gsumle  18821  xrge0tsms  18822  jensen  20784  xrge0tsmsd  24180  esumnul  24400  esumsn  24413  psgnunilem2  27290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-seq 11283  df-gsum 13687
  Copyright terms: Public domain W3C validator