MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum0 Unicode version

Theorem gsum0 14457
Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gsum0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
gsum0  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  .0.

Proof of Theorem gsum0
Dummy variables  f 
g  m  n  o  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 gsum0.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2283 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2283 . . 3  |-  { x  e.  ( Base `  G
)  |  A. y  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) }  =  { x  e.  ( Base `  G )  | 
A. y  e.  (
Base `  G )
( ( x ( +g  `  G ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G ) x )  =  y ) }
5 id 19 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  G  e.  _V )
6 0ex 4150 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
76a1i 10 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (/)  e.  _V )
8 f0 5425 . . . 4  |-  (/) : (/) --> { x  e.  ( Base `  G )  |  A. y  e.  ( Base `  G ) ( ( x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) }
98a1i 10 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (/) : (/) --> { x  e.  ( Base `  G )  |  A. y  e.  ( Base `  G ) ( ( x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) } )
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9gsumval1 14456 . 2  |-  ( G  e.  _V  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  .0.  )
11 df-gsum 13405 . . . . 5  |-  gsumg  =  ( w  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  [_ { x  e.  ( Base `  w
)  |  A. y  e.  ( Base `  w
) ( ( x ( +g  `  w
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  w
) x )  =  y ) }  / 
o ]_ if ( ran  f  C_  o , 
( 0g `  w
) ,  if ( dom  f  e.  ran  ...
,  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  f  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  w ) ,  f ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. g [. ( `' f " ( _V 
\  o ) )  /  y ]. (
g : ( 1 ... ( # `  y
) ) -1-1-onto-> y  /\  x  =  (  seq  1
( ( +g  `  w
) ,  ( f  o.  g ) ) `
 ( # `  y
) ) ) ) ) ) )
1211reldmmpt2 5955 . . . 4  |-  Rel  dom  gsumg
1312ovprc1 5886 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  (/) )
14 fvprc 5519 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( 0g `  G )  =  (/) )
152, 14syl5eq 2327 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .0.  =  (/) )
1613, 15eqtr4d 2318 . 2  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  .0.  )
1710, 16pm2.61i 156 1  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  .0.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991   [_csb 3081    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    o. ccom 4693   iotacio 5217   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046   #chash 11337   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401
This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  14461  gsumccat  14464  gsumwmhm  14467  gsumwspan  14468  frmdgsum  14484  frmdup1  14486  gsumwrev  14839  gsumconst  15209  mplmonmul  16208  mplcoe1  16209  mplcoe2  16211  gsumfsum  16439  tmdgsum  17778  xrge0gsumle  18338  xrge0tsms  18339  jensen  20283  xrge0tsmsd  23382  esumnul  23427  esumsn  23437  psgnunilem2  27418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seq 11047  df-gsum 13405
  Copyright terms: Public domain W3C validator