MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum0 Structured version   Unicode version

Theorem gsum0 14785
Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gsum0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
gsum0  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  .0.

Proof of Theorem gsum0
Dummy variables  f 
g  m  n  o  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 gsum0.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2438 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2438 . . 3  |-  { x  e.  ( Base `  G
)  |  A. y  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) }  =  { x  e.  ( Base `  G )  | 
A. y  e.  (
Base `  G )
( ( x ( +g  `  G ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G ) x )  =  y ) }
5 id 21 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  G  e.  _V )
6 0ex 4342 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
76a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (/)  e.  _V )
8 f0 5630 . . . 4  |-  (/) : (/) --> { x  e.  ( Base `  G )  |  A. y  e.  ( Base `  G ) ( ( x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) }
98a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (/) : (/) --> { x  e.  ( Base `  G )  |  A. y  e.  ( Base `  G ) ( ( x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) } )
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9gsumval1 14784 . 2  |-  ( G  e.  _V  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  .0.  )
11 df-gsum 13733 . . . . 5  |-  gsumg  =  ( w  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  [_ { x  e.  ( Base `  w
)  |  A. y  e.  ( Base `  w
) ( ( x ( +g  `  w
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  w
) x )  =  y ) }  / 
o ]_ if ( ran  f  C_  o , 
( 0g `  w
) ,  if ( dom  f  e.  ran  ...
,  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  f  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  w ) ,  f ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. g [. ( `' f " ( _V 
\  o ) )  /  y ]. (
g : ( 1 ... ( # `  y
) ) -1-1-onto-> y  /\  x  =  (  seq  1
( ( +g  `  w
) ,  ( f  o.  g ) ) `
 ( # `  y
) ) ) ) ) ) )
1211reldmmpt2 6184 . . . 4  |-  Rel  dom  gsumg
1312ovprc1 6112 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  (/) )
14 fvprc 5725 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( 0g `  G )  =  (/) )
152, 14syl5eq 2482 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .0.  =  (/) )
1613, 15eqtr4d 2473 . 2  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  .0.  )
1710, 16pm2.61i 159 1  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  .0.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958   [.wsbc 3163   [_csb 3253    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ifcif 3741   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882   "cima 4884    o. ccom 4885   iotacio 5419   -->wf 5453   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1c1 8996   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048    seq cseq 11328   #chash 11623   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   0gc0g 13728    gsumg cgsu 13729
This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  14789  gsumccat  14792  gsumwmhm  14795  gsumwspan  14796  frmdgsum  14812  frmdup1  14814  gsumwrev  15167  gsumconst  15537  mplmonmul  16532  mplcoe1  16533  mplcoe2  16535  gsumfsum  16771  tmdgsum  18130  xrge0gsumle  18869  xrge0tsms  18870  jensen  20832  xrge0tsmsd  24228  esumnul  24448  esumsn  24461  psgnunilem2  27409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-seq 11329  df-gsum 13733
  Copyright terms: Public domain W3C validator