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Theorem gsum2d 15223
Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d.r  |-  ( ph  ->  Rel  A )
gsum2d.d  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
gsum2d.s  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
gsum2d.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsum2d.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsum2d  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    j, F, k    j, G, k    ph, j, k    B, j, k    D, j, k    .0. , j, k
Allowed substitution hints:    V( j, k)    W( j, k)

Proof of Theorem gsum2d
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d.w . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2 dmfi 7139 . . . 4  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
4 reseq2 4950 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  (/) ) )
5 res0 4959 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  |`  (/) )  =  (/)
64, 5syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  |`  x )  =  (/) )
76reseq2d 4955 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  ( A  |`  x
) )  =  ( F  |`  (/) ) )
8 res0 4959 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
97, 8syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  ( A  |`  x
) )  =  (/) )
109oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
11 mpteq1 4100 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  (/)  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
12 mpt0 5371 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  (/)  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  =  (/)
1311, 12syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  (/) )
1413oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
1510, 14eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  (/) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) ) )
1615imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) ) ) )
17 reseq2 4950 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  y
) )
1817reseq2d 4955 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )
1918oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) )
20 mpteq1 4100 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  y  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
2120oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
2322imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
24 reseq2 4950 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )
2524reseq2d 4955 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )
2625oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x
) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) ) )
27 mpteq1 4100 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  ( y  u.  {
z } )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
2827oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
2926, 28eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
3029imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
31 reseq2 4950 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
3231reseq2d 4955 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )
3332oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ) )
34 mpteq1 4100 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
3534oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
3633, 35eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |` 
dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
3736imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
38 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
39 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
40 gsum2d.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
41 gsum2d.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
42 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
43 gsum2d.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4443adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  G  e. CMnd )
45 gsum2d.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
46 resexg 4994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  _V )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  e. 
_V )
4847adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  e. 
_V )
49 gsum2d.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
50 resss 4979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) 
C_  A
51 fssres 5408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) )  C_  A
)  ->  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) --> B )
5249, 50, 51sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) --> B )
5352adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) --> B )
54 resss 4979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) 
C_  F
55 cnvss 4854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  C_  F  ->  `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  C_  `' F )
56 imass1 5048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  C_  `' F  ->  ( `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
5754, 55, 56mp2b 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
58 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( `' ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
591, 57, 58sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
6059adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( `' ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
61 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  -.  z  e.  y
)
62 disjsn 3693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
6361, 62sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
6463reseq2d 4955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  i^i  { z } ) )  =  ( A  |`  (/) ) )
65 resindi 4971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  |`  ( y  i^i  {
z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  i^i  ( A  |`  { z } ) )
6664, 65, 53eqtr3g 2338 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( A  |`  y )  i^i  ( A  |`  { z } ) )  =  (/) )
67 resundi 4969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  u.  ( A  |`  { z } ) )
6867a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  u.  ( A  |`  { z } ) ) )
6940, 41, 42, 44, 48, 53, 60, 66, 68gsumsplit 15207 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) ) ) ) )
70 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
71 ssres2 4982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  |`  y )  C_  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )
72 resabs1 4984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  |`  y )  C_  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )
7370, 71, 72mp2b 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y ) )
7473oveq2i 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )
75 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
76 ssres2 4982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  ( A  |`  { z } )  C_  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )
77 resabs1 4984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  |`  { z } )  C_  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
7875, 76, 77mp2b 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) )
7978oveq2i 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  { z } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
8074, 79oveq12i 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
8169, 80syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
82 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
y  e.  Fin )
83 imaexg 5026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  ( A " { j } )  e.  _V )
8445, 83syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A " {
j } )  e. 
_V )
85 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  j  e. 
_V
86 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  k  e. 
_V
8785, 86elimasn 5038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  <->  <. j ,  k >.  e.  A )
88 df-ov 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j F k )  =  ( F `  <. j ,  k >. )
89 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
j ,  k >.  e.  A )  ->  ( F `  <. j ,  k >. )  e.  B
)
9049, 89sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( F `  <. j ,  k
>. )  e.  B
)
9188, 90syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( j F k )  e.  B )
9287, 91sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A " { j } ) )  -> 
( j F k )  e.  B )
93 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )
9492, 93fmptd 5684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) : ( A " { j } ) --> B )
95 rnfi 7141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin  ->  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
961, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
9787biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  ->  <. j ,  k
>.  e.  A )
9885, 86opelrn 4910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
k  e.  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
9998con3i 127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  k  e.  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  -.  <.
j ,  k >.  e.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
10097, 99anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( A
" { j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k
>.  e.  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
101 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( k  e.  ( A " {
j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
102 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k
>.  e.  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
103100, 101, 1023imtr4i 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
104 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
105104a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
10649, 105suppssr 5659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( F `  <. j ,  k
>. )  =  .0.  )
10788, 106syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( j F k )  =  .0.  )
108103, 107sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( A " { j } ) 
\  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  (
j F k )  =  .0.  )
109108suppss2 6073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
110 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( `' ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
11196, 109, 110syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
11240, 41, 43, 84, 94, 111gsumcl 15198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
113112ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  /\  j  e.  y )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
114 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
115114a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
z  e.  _V )
116 sneq 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  z  ->  { j }  =  { z } )
117116imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  z  ->  ( A " { j } )  =  ( A
" { z } ) )
118 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  z  ->  (
j F k )  =  ( z F k ) )
119117, 118mpteq12dv 4098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )
120119oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  z  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) )
121120eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  z  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B  <->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A
" { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B ) )
122121imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  z  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B ) ) )
123122, 112chvarv 1953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B )
124123adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B )
12540, 42, 44, 82, 113, 115, 61, 124, 120gsumunsn 15221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) ) )
126116reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  z  ->  ( A  |`  { j } )  =  ( A  |`  { z } ) )
127126reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
128127oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
129120, 128eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  z  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A
" { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
130129imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  z  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) ) )
131 2ndconst 6208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  _V  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) ) ) : ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " {
j } ) )
13285, 131mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) : ( { j }  X.  ( A
" { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " {
j } ) )
13340, 41, 43, 84, 94, 111, 132gsumf1o 15199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) ) )
134 1st2nd2 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >. )
135 xp1st 6149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 1st `  x )  e. 
{ j } )
136 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1st `  x )  e.  { j }  ->  ( 1st `  x
)  =  j )
137135, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 1st `  x )  =  j )
138137opeq1d 3802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >.  =  <. j ,  ( 2nd `  x
) >. )
139134, 138eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  x  =  <. j ,  ( 2nd `  x )
>. )
140139fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  <. j ,  ( 2nd `  x ) >. )
)
141 df-ov 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j F ( 2nd `  x
) )  =  ( F `  <. j ,  ( 2nd `  x
) >. )
142140, 141syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( F `  x )  =  ( j F ( 2nd `  x
) ) )
143142mpteq2ia 4102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( j F ( 2nd `  x
) ) )
14449feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
145144reseq1d 4954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) )  |`  ( A  |`  { j } ) ) )
146 resss 4979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  |`  { j } ) 
C_  A
147 resmpt 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  |`  { j } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( x  e.  ( A  |`  { j } )  |->  ( F `
 x ) ) )
148146, 147ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |` 
{ j } ) )  =  ( x  e.  ( A  |`  { j } ) 
|->  ( F `  x
) )
149 ressn 5211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  |`  { j } )  =  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )
150 mpteq1 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  |`  { j } )  =  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  -> 
( x  e.  ( A  |`  { j } )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `  x ) ) )
151149, 150ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  |`  { j } ) 
|->  ( F `  x
) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )
152148, 151eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |` 
{ j } ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )
153145, 152syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `
 x ) ) )
154 xp2nd 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 2nd `  x )  e.  ( A " {
j } ) )
155154adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  ( A
" { j } ) )
156 fo2nd 6140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2nd : _V -onto-> _V
157 fof 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2nd
: _V -onto-> _V  ->  2nd
: _V --> _V )
158156, 157mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  2nd : _V --> _V )
159158feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  2nd  =  ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) ) )
160159reseq1d 4954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) )
161 ssv 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  C_  _V
162 resmpt 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x
) ) )
163161, 162ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( {
j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x ) )
164160, 163syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x
) ) )
165 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) )
166 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( 2nd `  x
)  ->  ( j F k )  =  ( j F ( 2nd `  x ) ) )
167155, 164, 165, 166fmptco 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( j F ( 2nd `  x ) ) ) )
168143, 153, 1673eqtr4a 2341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) )
169168oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) ) )
170133, 169eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) ) )
171130, 170chvarv 1953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
172171adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
173172oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
174125, 173eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
17581, 174eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) ) )
17639, 175syl5ibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
177176expcom 424 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
178177a2d 23 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
17916, 23, 30, 37, 38, 178findcard2s 7099 . . 3  |-  ( dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  ->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
1803, 179mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
181 cnvimass 5033 . . . . . 6  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  F
182 fdm 5393 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
18349, 182syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
184181, 183syl5sseq 3226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
185 gsum2d.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  A )
186 relss 4775 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  A  ->  ( Rel  A  ->  Rel  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
187184, 185, 186sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Rel  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
188 relssdmrn 5193 . . . . . . 7  |-  ( Rel  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
189 ssv 3198 . . . . . . . 8  |-  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  _V
190 xpss2 4796 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  _V  ->  ( dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  C_  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) )
191189, 190ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) 
C_  ( dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  _V )
192188, 191syl6ss 3191 . . . . . 6  |-  ( Rel  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) )
193187, 192syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) )
194184, 193ssind 3393 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( A  i^i  ( dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) ) )
195 df-res 4701 . . . 4  |-  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  =  ( A  i^i  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) )
196194, 195syl6sseqr 3225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
19740, 41, 43, 45, 49, 196, 1gsumres 15197 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )
198 dmss 4878 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  A  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  dom  A )
199184, 198syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  dom  A )
200 gsum2d.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
201199, 200sstrd 3189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  D )
202 resmpt 5000 . . . . 5  |-  ( dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  D  ->  ( ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  =  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
203201, 202syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  =  ( j  e. 
dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
204203oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
205 gsum2d.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
206112adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
207 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )
208206, 207fmptd 5684 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) : D --> B )
20997ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  A
)
210 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  j  e.  dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
211210ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  -.  j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
21285, 86opeldm 4882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
213211, 212nsyl 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  -.  <.
j ,  k >.  e.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
214209, 213, 102sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
215214, 107syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  (
j F k )  =  .0.  )
216215anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) )  -> 
( j F k )  =  .0.  )
217216mpteq2dva 4106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  .0.  ) )
218217oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  .0.  )
) )
219 cmnmnd 15104 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
22043, 219syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
22141gsumz 14458 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( A " { j } )  e.  _V )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
222220, 84, 221syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  .0.  )
)  =  .0.  )
223222adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
224218, 223eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) )  =  .0.  )
225224suppss2 6073 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
226 ssfi 7083 . . . . 5  |-  ( ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2273, 225, 226syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
22840, 41, 43, 205, 208, 225, 227gsumres 15197 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
229204, 228eqtr3d 2317 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
230180, 197, 2293eqtr3d 2323 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693   Rel wrel 4694   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   Fincfn 6863   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361  CMndccmn 15089
This theorem is referenced by:  gsum2d2  15225  gsumxp  15227
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091
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