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Theorem gsum2d2 15477
Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. (Note that  C ( j ) is a function of  j.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d2.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d2.r  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
gsum2d2.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsum2d2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsum2d2.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsum2d2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, B    ph, j, k    A, j, k    j, G, k    U, j, k    C, k   
j, V    .0. , j,
k
Allowed substitution hints:    C( j)    V( k)    W( j, k)    X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2
Dummy variables  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsum2d2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsum2d2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsum2d2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 snex 4348 . . . . . 6  |-  { j }  e.  _V
6 gsum2d2.r . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
7 xpexg 4931 . . . . . 6  |-  ( ( { j }  e.  _V  /\  C  e.  W
)  ->  ( {
j }  X.  C
)  e.  _V )
85, 6, 7sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
98ralrimiva 2734 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
10 iunexg 5928 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
114, 9, 10syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
12 relxp 4925 . . . . . 6  |-  Rel  ( { j }  X.  C )
1312rgenw 2718 . . . . 5  |-  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
)
14 reliun 4937 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
) )
1513, 14mpbir 201 . . . 4  |-  Rel  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
17 vex 2904 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
1817eldm2 5010 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
19 eliunxp 4954 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  E. j E. k ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )
20 vex 2904 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
2117, 20opth1 4377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. j ,  k
>.  ->  x  =  j )
2221ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  x  =  j )
23 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  j  e.  A )
2422, 23eqeltrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  x  e.  A )
2524ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
)  ->  x  e.  A ) )
2625exlimdvv 1644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. j E. k ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
)  ->  x  e.  A ) )
2719, 26syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A
) )
2827exlimdv 1643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A ) )
2918, 28syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A ) )
3029ssrdv 3299 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  C_  A
)
31 gsum2d2.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
3231ralrimivva 2743 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B )
33 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  =  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
3433fmpt2x 6358 . . . 4  |-  ( A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B  <->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) :
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
3532, 34sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) : U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
36 gsum2d2.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
37 gsum2d2.n . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
381, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37gsum2d2lem 15476 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
391, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38gsum2d 15475 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) ) ) )
40 nfcv 2525 . . . . . 6  |-  F/_ j G
41 nfcv 2525 . . . . . 6  |-  F/_ j  gsumg
42 nfiu1 4065 . . . . . . . 8  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
43 nfcv 2525 . . . . . . . 8  |-  F/_ j { m }
4442, 43nfima 5153 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )
45 nfcv 2525 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
m
46 nfmpt21 6081 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
47 nfcv 2525 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
n
4845, 46, 47nfov 6045 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )
4944, 48nfmpt 4240 . . . . . 6  |-  F/_ j
( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )
5040, 41, 49nfov 6045 . . . . 5  |-  F/_ j
( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
51 nfcv 2525 . . . . 5  |-  F/_ m
( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
52 sneq 3770 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  j  ->  { m }  =  { j } )
5352imaeq2d 5145 . . . . . . 7  |-  ( m  =  j  ->  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  =  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
" { j } ) )
54 oveq1 6029 . . . . . . 7  |-  ( m  =  j  ->  (
m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )
5553, 54mpteq12dv 4230 . . . . . 6  |-  ( m  =  j  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
5655oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( m  =  j  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )
5750, 51, 56cbvmpt 4242 . . . 4  |-  ( m  e.  A  |->  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )
58 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  j  e. 
_V
59 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
6058, 59elimasn 5171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  <->  <. j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) )
61 opeliunxp 4871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
6260, 61bitri 241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
6362baib 872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  A  ->  (
k  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  <->  k  e.  C ) )
6463eqrdv 2387 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  A  ->  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  =  C )
6564mpteq1d 4233 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  A  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( n  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
66 nfcv 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
j
67 nfmpt22 6082 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
68 nfcv 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
n
6966, 67, 68nfov 6045 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )
70 nfcv 2525 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )
71 oveq2 6030 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
7269, 70, 71cbvmpt 4242 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
7365, 72syl6eq 2437 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  A  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) ) )
7473adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) ) )
75 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
j  e.  A )
76 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
k  e.  C )
7733ovmpt4g 6137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C  /\  X  e.  B )  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
7875, 76, 31, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
7978anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
8079mpteq2dva 4238 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )  =  ( k  e.  C  |->  X ) )
8174, 80eqtrd 2421 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  X ) )
8281oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) )
8382mpteq2dva 4238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )
8457, 83syl5eq 2433 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )
8584oveq2d 6038 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
8639, 85eqtrd 2421 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   _Vcvv 2901   {csn 3759   <.cop 3762   U_ciun 4037   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209    X. cxp 4818   dom cdm 4820   "cima 4823   Rel wrel 4825   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    e. cmpt2 6024   Fincfn 7047   Basecbs 13398   0gc0g 13652    gsumg cgsu 13653  CMndccmn 15341
This theorem is referenced by:  gsumdixp  15644  psrass1lem  16371  gsumcom3  27125
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-hash 11548  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343
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