Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum2d2 Structured version   Unicode version

Theorem gsum2d2 15553
 Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. (Note that is a function of .) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b
gsum2d2.z
gsum2d2.g CMnd
gsum2d2.a
gsum2d2.r
gsum2d2.f
gsum2d2.u
gsum2d2.n
Assertion
Ref Expression
gsum2d2 g g g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem gsum2d2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3
2 gsum2d2.z . . 3
3 gsum2d2.g . . 3 CMnd
4 gsum2d2.a . . . 4
5 snex 4408 . . . . . 6
6 gsum2d2.r . . . . . 6
7 xpexg 4992 . . . . . 6
85, 6, 7sylancr 646 . . . . 5
98ralrimiva 2791 . . . 4
10 iunexg 5990 . . . 4
114, 9, 10syl2anc 644 . . 3
12 relxp 4986 . . . . . 6
1312rgenw 2775 . . . . 5
14 reliun 4998 . . . . 5
1513, 14mpbir 202 . . . 4
1615a1i 11 . . 3
17 vex 2961 . . . . . 6
1817eldm2 5071 . . . . 5
19 eliunxp 5015 . . . . . . 7
20 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12
2117, 20opth1 4437 . . . . . . . . . . 11
2221ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10
23 simprrl 742 . . . . . . . . . 10
2422, 23eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9
2524ex 425 . . . . . . . 8
2625exlimdvv 1648 . . . . . . 7
2719, 26syl5bi 210 . . . . . 6
2827exlimdv 1647 . . . . 5
2918, 28syl5bi 210 . . . 4
3029ssrdv 3356 . . 3
31 gsum2d2.f . . . . 5
3231ralrimivva 2800 . . . 4
33 eqid 2438 . . . . 5
3433fmpt2x 6420 . . . 4
3532, 34sylib 190 . . 3
36 gsum2d2.u . . . 4
37 gsum2d2.n . . . 4
381, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37gsum2d2lem 15552 . . 3
391, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38gsum2d 15551 . 2 g g g
40 nfcv 2574 . . . . . 6
41 nfcv 2574 . . . . . 6 g
42 nfiu1 4123 . . . . . . . 8
43 nfcv 2574 . . . . . . . 8
4442, 43nfima 5214 . . . . . . 7
45 nfcv 2574 . . . . . . . 8
46 nfmpt21 6143 . . . . . . . 8
47 nfcv 2574 . . . . . . . 8
4845, 46, 47nfov 6107 . . . . . . 7
4944, 48nfmpt 4300 . . . . . 6
5040, 41, 49nfov 6107 . . . . 5 g
51 nfcv 2574 . . . . 5 g
52 sneq 3827 . . . . . . . 8
5352imaeq2d 5206 . . . . . . 7
54 oveq1 6091 . . . . . . 7
5553, 54mpteq12dv 4290 . . . . . 6
5655oveq2d 6100 . . . . 5 g g
5750, 51, 56cbvmpt 4302 . . . 4 g g
58 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . 14
59 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . 14
6058, 59elimasn 5232 . . . . . . . . . . . . 13
61 opeliunxp 4932 . . . . . . . . . . . . 13
6260, 61bitri 242 . . . . . . . . . . . 12
6362baib 873 . . . . . . . . . . 11
6463eqrdv 2436 . . . . . . . . . 10
6564mpteq1d 4293 . . . . . . . . 9
66 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11
67 nfmpt22 6144 . . . . . . . . . . 11
68 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11
6966, 67, 68nfov 6107 . . . . . . . . . 10
70 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10
71 oveq2 6092 . . . . . . . . . 10
7269, 70, 71cbvmpt 4302 . . . . . . . . 9
7365, 72syl6eq 2486 . . . . . . . 8
7473adantl 454 . . . . . . 7
75 simprl 734 . . . . . . . . . 10
76 simprr 735 . . . . . . . . . 10
7733ovmpt4g 6199 . . . . . . . . . 10
7875, 76, 31, 77syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
7978anassrs 631 . . . . . . . 8
8079mpteq2dva 4298 . . . . . . 7
8174, 80eqtrd 2470 . . . . . 6
8281oveq2d 6100 . . . . 5 g g
8382mpteq2dva 4298 . . . 4 g g
8457, 83syl5eq 2482 . . 3 g g
8584oveq2d 6100 . 2 g g g g
8639, 85eqtrd 2470 1 g g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958  csn 3816  cop 3819  ciun 4095   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cxp 4879   cdm 4881  cima 4884   wrel 4886  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  cfn 7112  cbs 13474  c0g 13728   g cgsu 13729  CMndccmn 15417 This theorem is referenced by:  gsumdixp  15720  psrass1lem  16447  gsumcom3  27445 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419
 Copyright terms: Public domain W3C validator