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Theorem gsum2d2 15241
Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. (Note that  C ( j ) is a function of  j.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d2.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d2.r  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
gsum2d2.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsum2d2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsum2d2.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsum2d2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, B    ph, j, k    A, j, k    j, G, k    U, j, k    C, k   
j, V    .0. , j,
k
Allowed substitution hints:    C( j)    V( k)    W( j, k)    X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2
Dummy variables  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsum2d2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsum2d2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsum2d2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 snex 4232 . . . . . 6  |-  { j }  e.  _V
6 gsum2d2.r . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
7 xpexg 4816 . . . . . 6  |-  ( ( { j }  e.  _V  /\  C  e.  W
)  ->  ( {
j }  X.  C
)  e.  _V )
85, 6, 7sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
98ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
10 iunexg 5783 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
114, 9, 10syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
12 relxp 4810 . . . . . 6  |-  Rel  ( { j }  X.  C )
1312rgenw 2623 . . . . 5  |-  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
)
14 reliun 4822 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
) )
1513, 14mpbir 200 . . . 4  |-  Rel  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)
1615a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
17 vex 2804 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
1817eldm2 4893 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
19 eliunxp 4839 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  E. j E. k ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )
20 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
2117, 20opth1 4260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. j ,  k
>.  ->  x  =  j )
2221ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  x  =  j )
23 simprrl 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  j  e.  A )
2422, 23eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  x  e.  A )
2524ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
)  ->  x  e.  A ) )
2625exlimdvv 1627 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. j E. k ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
)  ->  x  e.  A ) )
2719, 26syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A
) )
2827exlimdv 1626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A ) )
2918, 28syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A ) )
3029ssrdv 3198 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  C_  A
)
31 gsum2d2.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
3231ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B )
33 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  =  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
3433fmpt2x 6206 . . . 4  |-  ( A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B  <->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) :
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
3532, 34sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) : U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
36 gsum2d2.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
37 gsum2d2.n . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
381, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37gsum2d2lem 15240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
391, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38gsum2d 15239 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) ) ) )
40 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ j G
41 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ j  gsumg
42 nfiu1 3949 . . . . . . . 8  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
43 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ j { m }
4442, 43nfima 5036 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )
45 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
m
46 nfmpt21 5930 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
47 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
n
4845, 46, 47nfov 5897 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )
4944, 48nfmpt 4124 . . . . . 6  |-  F/_ j
( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )
5040, 41, 49nfov 5897 . . . . 5  |-  F/_ j
( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
51 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ m
( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
52 sneq 3664 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  j  ->  { m }  =  { j } )
5352imaeq2d 5028 . . . . . . 7  |-  ( m  =  j  ->  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  =  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
" { j } ) )
54 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( m  =  j  ->  (
m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )
5553, 54mpteq12dv 4114 . . . . . 6  |-  ( m  =  j  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
5655oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( m  =  j  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )
5750, 51, 56cbvmpt 4126 . . . 4  |-  ( m  e.  A  |->  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )
58 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  j  e. 
_V
59 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
6058, 59elimasn 5054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  <->  <. j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) )
61 opeliunxp 4756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
6260, 61bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
6362baib 871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  A  ->  (
k  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  <->  k  e.  C ) )
6463eqrdv 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  A  ->  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  =  C )
65 mpteq1 4116 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  =  C  ->  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
" { j } )  |->  ( j ( j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( n  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  A  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( n  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
67 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
j
68 nfmpt22 5931 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
69 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
n
7067, 68, 69nfov 5897 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )
71 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )
72 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
7370, 71, 72cbvmpt 4126 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
7466, 73syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  A  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) ) )
7574adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) ) )
76 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
j  e.  A )
77 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
k  e.  C )
7833ovmpt4g 5986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C  /\  X  e.  B )  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
7976, 77, 31, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
8079anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
8180mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )  =  ( k  e.  C  |->  X ) )
8275, 81eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  X ) )
8382oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) )
8483mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )
8557, 84syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )
8685oveq2d 5890 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
8739, 86eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   {csn 3653   <.cop 3656   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705   "cima 4708   Rel wrel 4710   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Fincfn 6879   Basecbs 13164   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417  CMndccmn 15105
This theorem is referenced by:  gsumdixp  15408  psrass1lem  16139  gsumcom3  27557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107
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