MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum2d2 Unicode version

Theorem gsum2d2 15225
Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. (Note that  C ( j ) is a function of  j.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d2.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d2.r  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
gsum2d2.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsum2d2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsum2d2.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsum2d2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, B    ph, j, k    A, j, k    j, G, k    U, j, k    C, k   
j, V    .0. , j,
k
Allowed substitution hints:    C( j)    V( k)    W( j, k)    X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2
Dummy variables  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsum2d2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsum2d2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsum2d2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 snex 4216 . . . . . 6  |-  { j }  e.  _V
6 gsum2d2.r . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
7 xpexg 4800 . . . . . 6  |-  ( ( { j }  e.  _V  /\  C  e.  W
)  ->  ( {
j }  X.  C
)  e.  _V )
85, 6, 7sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
98ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
10 iunexg 5767 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
114, 9, 10syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
12 relxp 4794 . . . . . 6  |-  Rel  ( { j }  X.  C )
1312rgenw 2610 . . . . 5  |-  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
)
14 reliun 4806 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
) )
1513, 14mpbir 200 . . . 4  |-  Rel  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)
1615a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
17 vex 2791 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
1817eldm2 4877 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
19 eliunxp 4823 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  E. j E. k ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )
20 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
2117, 20opth1 4244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. j ,  k
>.  ->  x  =  j )
2221ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  x  =  j )
23 simprrl 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  j  e.  A )
2422, 23eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  x  e.  A )
2524ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
)  ->  x  e.  A ) )
2625exlimdvv 1668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. j E. k ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
)  ->  x  e.  A ) )
2719, 26syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A
) )
2827exlimdv 1664 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A ) )
2918, 28syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A ) )
3029ssrdv 3185 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  C_  A
)
31 gsum2d2.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
3231ralrimivva 2635 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B )
33 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  =  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
3433fmpt2x 6190 . . . 4  |-  ( A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B  <->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) :
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
3532, 34sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) : U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
36 gsum2d2.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
37 gsum2d2.n . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
381, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37gsum2d2lem 15224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
391, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38gsum2d 15223 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) ) ) )
40 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ j G
41 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ j  gsumg
42 nfiu1 3933 . . . . . . . 8  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
43 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ j { m }
4442, 43nfima 5020 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )
45 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
m
46 nfmpt21 5914 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
47 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
n
4845, 46, 47nfov 5881 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )
4944, 48nfmpt 4108 . . . . . 6  |-  F/_ j
( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )
5040, 41, 49nfov 5881 . . . . 5  |-  F/_ j
( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
51 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ m
( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
52 sneq 3651 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  j  ->  { m }  =  { j } )
5352imaeq2d 5012 . . . . . . 7  |-  ( m  =  j  ->  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  =  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
" { j } ) )
54 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( m  =  j  ->  (
m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )
5553, 54mpteq12dv 4098 . . . . . 6  |-  ( m  =  j  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
5655oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( m  =  j  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )
5750, 51, 56cbvmpt 4110 . . . 4  |-  ( m  e.  A  |->  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )
58 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  j  e. 
_V
59 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
6058, 59elimasn 5038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  <->  <. j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) )
61 opeliunxp 4740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
6260, 61bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
6362baib 871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  A  ->  (
k  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  <->  k  e.  C ) )
6463eqrdv 2281 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  A  ->  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  =  C )
65 mpteq1 4100 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  =  C  ->  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
" { j } )  |->  ( j ( j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( n  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  A  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( n  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
67 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
j
68 nfmpt22 5915 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
69 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
n
7067, 68, 69nfov 5881 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )
71 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )
72 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
7370, 71, 72cbvmpt 4110 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
7466, 73syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  A  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) ) )
7574adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) ) )
76 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
j  e.  A )
77 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
k  e.  C )
7833ovmpt4g 5970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C  /\  X  e.  B )  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
7976, 77, 31, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
8079anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
8180mpteq2dva 4106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )  =  ( k  e.  C  |->  X ) )
8275, 81eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  X ) )
8382oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) )
8483mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )
8557, 84syl5eq 2327 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )
8685oveq2d 5874 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
8739, 86eqtrd 2315 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   "cima 4692   Rel wrel 4694   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Fincfn 6863   Basecbs 13148   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401  CMndccmn 15089
This theorem is referenced by:  gsumdixp  15392  psrass1lem  16123  gsumcom3  27454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091
  Copyright terms: Public domain W3C validator