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Theorem gsum2d2 15553
Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. (Note that  C ( j ) is a function of  j.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d2.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d2.r  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
gsum2d2.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsum2d2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsum2d2.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsum2d2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, B    ph, j, k    A, j, k    j, G, k    U, j, k    C, k   
j, V    .0. , j,
k
Allowed substitution hints:    C( j)    V( k)    W( j, k)    X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2
Dummy variables  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsum2d2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsum2d2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsum2d2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 snex 4408 . . . . . 6  |-  { j }  e.  _V
6 gsum2d2.r . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
7 xpexg 4992 . . . . . 6  |-  ( ( { j }  e.  _V  /\  C  e.  W
)  ->  ( {
j }  X.  C
)  e.  _V )
85, 6, 7sylancr 646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
98ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
10 iunexg 5990 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
114, 9, 10syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
12 relxp 4986 . . . . . 6  |-  Rel  ( { j }  X.  C )
1312rgenw 2775 . . . . 5  |-  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
)
14 reliun 4998 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
) )
1513, 14mpbir 202 . . . 4  |-  Rel  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
17 vex 2961 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
1817eldm2 5071 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
19 eliunxp 5015 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  E. j E. k ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )
20 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
2117, 20opth1 4437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. j ,  k
>.  ->  x  =  j )
2221ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  x  =  j )
23 simprrl 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  j  e.  A )
2422, 23eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  x  e.  A )
2524ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
)  ->  x  e.  A ) )
2625exlimdvv 1648 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. j E. k ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
)  ->  x  e.  A ) )
2719, 26syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A
) )
2827exlimdv 1647 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A ) )
2918, 28syl5bi 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A ) )
3029ssrdv 3356 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  C_  A
)
31 gsum2d2.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
3231ralrimivva 2800 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B )
33 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  =  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
3433fmpt2x 6420 . . . 4  |-  ( A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B  <->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) :
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
3532, 34sylib 190 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) : U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
36 gsum2d2.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
37 gsum2d2.n . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
381, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37gsum2d2lem 15552 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
391, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38gsum2d 15551 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) ) ) )
40 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ j G
41 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ j  gsumg
42 nfiu1 4123 . . . . . . . 8  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
43 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ j { m }
4442, 43nfima 5214 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )
45 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
m
46 nfmpt21 6143 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
47 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
n
4845, 46, 47nfov 6107 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )
4944, 48nfmpt 4300 . . . . . 6  |-  F/_ j
( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )
5040, 41, 49nfov 6107 . . . . 5  |-  F/_ j
( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
51 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ m
( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
52 sneq 3827 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  j  ->  { m }  =  { j } )
5352imaeq2d 5206 . . . . . . 7  |-  ( m  =  j  ->  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  =  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
" { j } ) )
54 oveq1 6091 . . . . . . 7  |-  ( m  =  j  ->  (
m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )
5553, 54mpteq12dv 4290 . . . . . 6  |-  ( m  =  j  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
5655oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( m  =  j  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )
5750, 51, 56cbvmpt 4302 . . . 4  |-  ( m  e.  A  |->  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )
58 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  j  e. 
_V
59 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
6058, 59elimasn 5232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  <->  <. j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) )
61 opeliunxp 4932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
6260, 61bitri 242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
6362baib 873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  A  ->  (
k  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  <->  k  e.  C ) )
6463eqrdv 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  A  ->  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  =  C )
6564mpteq1d 4293 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  A  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( n  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
66 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
j
67 nfmpt22 6144 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
68 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
n
6966, 67, 68nfov 6107 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )
70 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )
71 oveq2 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
7269, 70, 71cbvmpt 4302 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
7365, 72syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  A  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) ) )
7473adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) ) )
75 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
j  e.  A )
76 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
k  e.  C )
7733ovmpt4g 6199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C  /\  X  e.  B )  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
7875, 76, 31, 77syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
7978anassrs 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
8079mpteq2dva 4298 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )  =  ( k  e.  C  |->  X ) )
8174, 80eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  X ) )
8281oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) )
8382mpteq2dva 4298 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )
8457, 83syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )
8584oveq2d 6100 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
8639, 85eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   {csn 3816   <.cop 3819   U_ciun 4095   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    X. cxp 4879   dom cdm 4881   "cima 4884   Rel wrel 4886   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   Fincfn 7112   Basecbs 13474   0gc0g 13728    gsumg cgsu 13729  CMndccmn 15417
This theorem is referenced by:  gsumdixp  15720  psrass1lem  16447  gsumcom3  27445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419
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