MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumadd Unicode version

Theorem gsumadd 15205
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumadd.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumadd.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumadd.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumadd.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
gsumadd.fn  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
gsumadd.hn  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumadd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  o F 
.+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )

Proof of Theorem gsumadd
StepHypRef Expression
1 gsumadd.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumadd.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsumadd.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2283 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
5 gsumadd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
6 cmnmnd 15104 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
8 gsumadd.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsumadd.fn . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
10 gsumadd.hn . 2  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
111submid 14428 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  B  e.  (SubMnd `  G )
)
127, 11syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubMnd `  G ) )
13 ssid 3197 . . 3  |-  B  C_  B
141, 4cntzcmn 15136 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  B  C_  B )  ->  (
(Cntz `  G ) `  B )  =  B )
155, 13, 14sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Cntz `  G
) `  B )  =  B )
1613, 15syl5sseqr 3227 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( (Cntz `  G ) `  B
) )
17 gsumadd.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
18 gsumadd.h . 2  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
191, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18gsumzadd 15204 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  o F 
.+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   Fincfn 6863   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361  SubMndcsubmnd 14414  Cntzccntz 14791  CMndccmn 15089
This theorem is referenced by:  gsumsub  15219  psrdi  16151  psrdir  16152  tsmsadd  17829  evlslem1  19399  tdeglem3  19445  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591  frlmup1  27250  mamudi  27461  mamudir  27462
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-cntz 14793  df-cmn 15091
  Copyright terms: Public domain W3C validator