MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumadd Structured version   Unicode version

Theorem gsumadd 15559
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumadd.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumadd.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumadd.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumadd.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
gsumadd.fn  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
gsumadd.hn  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumadd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  o F 
.+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )

Proof of Theorem gsumadd
StepHypRef Expression
1 gsumadd.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumadd.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsumadd.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2442 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
5 gsumadd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
6 cmnmnd 15458 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
8 gsumadd.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsumadd.fn . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
10 gsumadd.hn . 2  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
111submid 14782 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  B  e.  (SubMnd `  G )
)
127, 11syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubMnd `  G ) )
13 ssid 3353 . . 3  |-  B  C_  B
141, 4cntzcmn 15490 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  B  C_  B )  ->  (
(Cntz `  G ) `  B )  =  B )
155, 13, 14sylancl 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Cntz `  G
) `  B )  =  B )
1613, 15syl5sseqr 3383 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( (Cntz `  G ) `  B
) )
17 gsumadd.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
18 gsumadd.h . 2  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
191, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18gsumzadd 15558 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  o F 
.+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962    \ cdif 3303    C_ wss 3306   {csn 3838   `'ccnv 4906   "cima 4910   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    o Fcof 6332   Fincfn 7138   Basecbs 13500   +g cplusg 13560   0gc0g 13754    gsumg cgsu 13755   Mndcmnd 14715  SubMndcsubmnd 14768  Cntzccntz 15145  CMndccmn 15443
This theorem is referenced by:  gsumsub  15573  psrdi  16501  psrdir  16502  tsmsadd  18207  evlslem1  19967  tdeglem3  20013  lgseisenlem3  21166  lgseisenlem4  21167  frlmup1  27265  mamudi  27476  mamudir  27477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-hash 11650  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-cntz 15147  df-cmn 15445
  Copyright terms: Public domain W3C validator