MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumadd Unicode version

Theorem gsumadd 15298
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumadd.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumadd.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumadd.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumadd.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
gsumadd.fn  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
gsumadd.hn  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumadd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  o F 
.+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )

Proof of Theorem gsumadd
StepHypRef Expression
1 gsumadd.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumadd.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsumadd.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2358 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
5 gsumadd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
6 cmnmnd 15197 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
8 gsumadd.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsumadd.fn . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
10 gsumadd.hn . 2  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
111submid 14521 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  B  e.  (SubMnd `  G )
)
127, 11syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubMnd `  G ) )
13 ssid 3273 . . 3  |-  B  C_  B
141, 4cntzcmn 15229 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  B  C_  B )  ->  (
(Cntz `  G ) `  B )  =  B )
155, 13, 14sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Cntz `  G
) `  B )  =  B )
1613, 15syl5sseqr 3303 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( (Cntz `  G ) `  B
) )
17 gsumadd.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
18 gsumadd.h . 2  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
191, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18gsumzadd 15297 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  o F 
.+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    C_ wss 3228   {csn 3716   `'ccnv 4767   "cima 4771   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942    o Fcof 6160   Fincfn 6948   Basecbs 13239   +g cplusg 13299   0gc0g 13493    gsumg cgsu 13494   Mndcmnd 14454  SubMndcsubmnd 14507  Cntzccntz 14884  CMndccmn 15182
This theorem is referenced by:  gsumsub  15312  psrdi  16244  psrdir  16245  tsmsadd  17925  evlslem1  19497  tdeglem3  19543  lgseisenlem3  20696  lgseisenlem4  20697  frlmup1  26573  mamudi  26784  mamudir  26785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-oi 7312  df-card 7659  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-seq 11136  df-hash 11428  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-cntz 14886  df-cmn 15184
  Copyright terms: Public domain W3C validator