MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumadd Unicode version

Theorem gsumadd 15491
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumadd.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumadd.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumadd.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumadd.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
gsumadd.fn  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
gsumadd.hn  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumadd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  o F 
.+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )

Proof of Theorem gsumadd
StepHypRef Expression
1 gsumadd.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumadd.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsumadd.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2412 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
5 gsumadd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
6 cmnmnd 15390 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
8 gsumadd.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsumadd.fn . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
10 gsumadd.hn . 2  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
111submid 14714 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  B  e.  (SubMnd `  G )
)
127, 11syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubMnd `  G ) )
13 ssid 3335 . . 3  |-  B  C_  B
141, 4cntzcmn 15422 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  B  C_  B )  ->  (
(Cntz `  G ) `  B )  =  B )
155, 13, 14sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Cntz `  G
) `  B )  =  B )
1613, 15syl5sseqr 3365 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( (Cntz `  G ) `  B
) )
17 gsumadd.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
18 gsumadd.h . 2  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
191, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18gsumzadd 15490 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  o F 
.+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    C_ wss 3288   {csn 3782   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    o Fcof 6270   Fincfn 7076   Basecbs 13432   +g cplusg 13492   0gc0g 13686    gsumg cgsu 13687   Mndcmnd 14647  SubMndcsubmnd 14700  Cntzccntz 15077  CMndccmn 15375
This theorem is referenced by:  gsumsub  15505  psrdi  16433  psrdir  16434  tsmsadd  18137  evlslem1  19897  tdeglem3  19943  lgseisenlem3  21096  lgseisenlem4  21097  frlmup1  27126  mamudi  27337  mamudir  27338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-hash 11582  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-cntz 15079  df-cmn 15377
  Copyright terms: Public domain W3C validator