MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumbagdiag Unicode version

Theorem gsumbagdiag 16369
Description: Two-dimensional commutation of a group sum over a "triangular" region. fsum0diag 12489 analogue for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
gsumbagdiag.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumbagdiag.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumbagdiag.x  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsumbagdiag  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  k
) }  |->  X ) ) )
Distinct variable groups:    f, j,
k, x, y, F   
f, G, j, k, x, y    x, V, y    f, I, x, y    ph, j, k    S, j, k, x    B, j, k    D, j, k, x, y    f, X, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f)    B( x, y, f)    D( f)    S( y, f)    I( j, k)    V( f, j, k)    X( j, k)

Proof of Theorem gsumbagdiag
StepHypRef Expression
1 gsumbagdiag.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2388 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumbagdiag.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 psrbagconf1o.1 . . 3  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
5 gsumbagdiag.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
6 gsumbagdiag.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
7 psrbag.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
87psrbaglefi 16365 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  e.  Fin )
95, 6, 8syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  e.  Fin )
104, 9syl5eqel 2472 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
11 ovex 6046 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1211rabex 4296 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
137, 12eqeltri 2458 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1413rabex 4296 . . 3  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  e.  _V
1514a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  e.  _V )
16 gsumbagdiag.x . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
17 xpfi 7315 . . 3  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  e.  Fin )  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
1810, 10, 17syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
19 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  j  e.  S )
207, 4, 5, 6gsumbagdiaglem 16368 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  (
k  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  k
) } ) )
2120simpld 446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  k  e.  S )
22 brxp 4850 . . . . 5  |-  ( j ( S  X.  S
) k  <->  ( j  e.  S  /\  k  e.  S ) )
2319, 21, 22sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  j
( S  X.  S
) k )
2423pm2.24d 137 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  ( -.  j ( S  X.  S ) k  ->  X  =  ( 0g `  G ) ) )
2524impr 603 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  -.  j ( S  X.  S ) k ) )  ->  X  =  ( 0g `  G ) )
267, 4, 5, 6gsumbagdiaglem 16368 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  k ) } ) )  ->  (
j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } ) )
2720, 26impbida 806 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  S  /\  k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  <->  ( k  e.  S  /\  j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  k ) } ) ) )
281, 2, 3, 10, 15, 16, 18, 25, 10, 27gsumcom2 15477 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  k
) }  |->  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2654   _Vcvv 2900   class class class wbr 4154    X. cxp 4817   `'ccnv 4818   "cima 4822   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    e. cmpt2 6023    o Fcof 6243    o Rcofr 6244    ^m cmap 6955   Fincfn 7046    <_ cle 9055    - cmin 9224   NNcn 9933   NN0cn0 10154   Basecbs 13397   0gc0g 13651    gsumg cgsu 13652  CMndccmn 15340
This theorem is referenced by:  psrass1lem  16370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mnd 14618  df-cntz 15044  df-cmn 15342
  Copyright terms: Public domain W3C validator