MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumbagdiag Structured version   Unicode version

Theorem gsumbagdiag 16433
Description: Two-dimensional commutation of a group sum over a "triangular" region. fsum0diag 12553 analogue for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
gsumbagdiag.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumbagdiag.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumbagdiag.x  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsumbagdiag  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  k
) }  |->  X ) ) )
Distinct variable groups:    f, j,
k, x, y, F   
f, G, j, k, x, y    x, V, y    f, I, x, y    ph, j, k    S, j, k, x    B, j, k    D, j, k, x, y    f, X, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f)    B( x, y, f)    D( f)    S( y, f)    I( j, k)    V( f, j, k)    X( j, k)

Proof of Theorem gsumbagdiag
StepHypRef Expression
1 gsumbagdiag.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2435 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumbagdiag.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 psrbagconf1o.1 . . 3  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
5 gsumbagdiag.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
6 gsumbagdiag.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
7 psrbag.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
87psrbaglefi 16429 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  e.  Fin )
95, 6, 8syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  e.  Fin )
104, 9syl5eqel 2519 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
11 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1211rabex 4346 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
137, 12eqeltri 2505 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1413rabex 4346 . . 3  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  e.  _V
1514a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  e.  _V )
16 gsumbagdiag.x . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
17 xpfi 7370 . . 3  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  e.  Fin )  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
1810, 10, 17syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
19 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  j  e.  S )
207, 4, 5, 6gsumbagdiaglem 16432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  (
k  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  k
) } ) )
2120simpld 446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  k  e.  S )
22 brxp 4901 . . . . 5  |-  ( j ( S  X.  S
) k  <->  ( j  e.  S  /\  k  e.  S ) )
2319, 21, 22sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  j
( S  X.  S
) k )
2423pm2.24d 137 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  ( -.  j ( S  X.  S ) k  ->  X  =  ( 0g `  G ) ) )
2524impr 603 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  -.  j ( S  X.  S ) k ) )  ->  X  =  ( 0g `  G ) )
267, 4, 5, 6gsumbagdiaglem 16432 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  k ) } ) )  ->  (
j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } ) )
2720, 26impbida 806 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  S  /\  k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  <->  ( k  e.  S  /\  j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  k ) } ) ) )
281, 2, 3, 10, 15, 16, 18, 25, 10, 27gsumcom2 15541 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  k
) }  |->  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075    o Fcof 6295    o Rcofr 6296    ^m cmap 7010   Fincfn 7101    <_ cle 9113    - cmin 9283   NNcn 9992   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   0gc0g 13715    gsumg cgsu 13716  CMndccmn 15404
This theorem is referenced by:  psrass1lem  16434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-cntz 15108  df-cmn 15406
  Copyright terms: Public domain W3C validator