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Theorem gsumbagdiaglem 16121
Description: Lemma for gsumbagdiag 16122. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
Assertion
Ref Expression
gsumbagdiaglem  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  e.  S  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  Y
) } ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    x, V, y    f, I, x, y   
x, S    x, D, y    f, X, x, y   
f, Y, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f)    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem gsumbagdiaglem
Dummy variables  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } )
2 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  o R  <_ 
( F  o F  -  X )  <->  Y  o R  <_  ( F  o F  -  X )
) )
32elrab 2923 . . . . 5  |-  ( Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) }  <->  ( Y  e.  D  /\  Y  o R  <_  ( F  o F  -  X )
) )
41, 3sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  e.  D  /\  Y  o R  <_  ( F  o F  -  X
) ) )
54simpld 445 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  e.  D )
64simprd 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  o R  <_  ( F  o F  -  X
) )
7 gsumbagdiag.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
87adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  I  e.  V )
9 gsumbagdiag.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
109adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  F  e.  D )
11 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  e.  S )
12 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  (
y  o R  <_  F 
<->  X  o R  <_  F ) )
13 psrbagconf1o.1 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
1412, 13elrab2 2925 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  S  <->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  F ) )
1511, 14sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  F
) )
1615simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  e.  D )
17 psrbag.d . . . . . . . 8  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1817psrbagf 16113 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
198, 16, 18syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X : I --> NN0 )
2015simprd 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  o R  <_  F )
2117psrbagcon 16117 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  X : I --> NN0  /\  X  o R  <_  F
) )  ->  (
( F  o F  -  X )  e.  D  /\  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F ) )
228, 10, 19, 20, 21syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  (
( F  o F  -  X )  e.  D  /\  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F ) )
2322simprd 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F )
2417psrbagf 16113 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
258, 5, 24syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y : I --> NN0 )
2622simpld 445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  X
)  e.  D )
2717psrbagf 16113 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  X )  e.  D
)  ->  ( F  o F  -  X
) : I --> NN0 )
288, 26, 27syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  X
) : I --> NN0 )
2917psrbagf 16113 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
308, 10, 29syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  F : I --> NN0 )
31 nn0re 9974 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  NN0  ->  u  e.  RR )
32 nn0re 9974 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  NN0  ->  v  e.  RR )
33 nn0re 9974 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  NN0  ->  w  e.  RR )
34 letr 8914 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  RR  /\  v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  (
( u  <_  v  /\  v  <_  w )  ->  u  <_  w
) )
3531, 32, 33, 34syl3an 1224 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  NN0  /\  v  e.  NN0  /\  w  e.  NN0 )  ->  (
( u  <_  v  /\  v  <_  w )  ->  u  <_  w
) )
3635adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  ( u  e. 
NN0  /\  v  e.  NN0 
/\  w  e.  NN0 ) )  ->  (
( u  <_  v  /\  v  <_  w )  ->  u  <_  w
) )
378, 25, 28, 30, 36caoftrn 6112 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  (
( Y  o R  <_  ( F  o F  -  X )  /\  ( F  o F  -  X )  o R  <_  F )  ->  Y  o R  <_  F ) )
386, 23, 37mp2and 660 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  o R  <_  F )
39 breq1 4026 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  o R  <_  F 
<->  Y  o R  <_  F ) )
4039, 13elrab2 2925 . . 3  |-  ( Y  e.  S  <->  ( Y  e.  D  /\  Y  o R  <_  F ) )
415, 38, 40sylanbrc 645 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  e.  S )
42 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( X : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z
)  e.  NN0 )
4319, 42sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
44 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z
)  e.  NN0 )
4525, 44sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
46 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( F `  z
)  e.  NN0 )
4730, 46sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( F `  z )  e.  NN0 )
48 nn0re 9974 . . . . . . . 8  |-  ( ( X `  z )  e.  NN0  ->  ( X `
 z )  e.  RR )
49 nn0re 9974 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y `  z )  e.  NN0  ->  ( Y `
 z )  e.  RR )
50 nn0re 9974 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  z )  e.  NN0  ->  ( F `
 z )  e.  RR )
51 leaddsub2 9251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  (
( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  <_  ( F `  z )  <->  ( Y `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( X `
 z ) ) ) )
52 leaddsub 9250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  (
( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  <_  ( F `  z )  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5351, 52bitr3d 246 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  (
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5448, 49, 50, 53syl3an 1224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  NN0  /\  ( Y `  z )  e.  NN0  /\  ( F `  z )  e.  NN0 )  ->  (
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5543, 45, 47, 54syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( ( Y `  z )  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z )
)  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5655ralbidva 2559 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( A. z  e.  I 
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  <->  A. z  e.  I  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
57 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V
5857a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V )
5925feqmptd 5575 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) )
60 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
6130, 60syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  F  Fn  I )
62 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( X : I --> NN0  ->  X  Fn  I )
6319, 62syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  Fn  I )
64 inidm 3378 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  I )  =  I
65 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
66 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( X `  z )  =  ( X `  z ) )
6761, 63, 8, 8, 64, 65, 66offval 6085 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  X
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) ) ) )
688, 45, 58, 59, 67ofrfval2 6096 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  o R  <_  ( F  o F  -  X
)  <->  A. z  e.  I 
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) ) ) )
69 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) )  e. 
_V
7069a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) )  e. 
_V )
7119feqmptd 5575 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `  z ) ) )
72 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( Y : I --> NN0  ->  Y  Fn  I )
7325, 72syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  Fn  I )
74 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( Y `  z )  =  ( Y `  z ) )
7561, 73, 8, 8, 64, 65, 74offval 6085 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  Y
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) ) ) )
768, 43, 70, 71, 75ofrfval2 6096 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( X  o R  <_  ( F  o F  -  Y
)  <->  A. z  e.  I 
( X `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) ) ) )
7756, 68, 763bitr4d 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  o R  <_  ( F  o F  -  X
)  <->  X  o R  <_  ( F  o F  -  Y ) ) )
786, 77mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  o R  <_  ( F  o F  -  Y
) )
79 breq1 4026 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x  o R  <_ 
( F  o F  -  Y )  <->  X  o R  <_  ( F  o F  -  Y )
) )
8079elrab 2923 . . 3  |-  ( X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  Y
) }  <->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  ( F  o F  -  Y )
) )
8116, 78, 80sylanbrc 645 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  Y ) } )
8241, 81jca 518 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  e.  S  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  Y
) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    o Rcofr 6077    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   RRcr 8736    + caddc 8740    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  16122  psrass1lem  16123
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966
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