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Theorem gsumbagdiaglem 16137
Description: Lemma for gsumbagdiag 16138. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
Assertion
Ref Expression
gsumbagdiaglem  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  e.  S  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  Y
) } ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    x, V, y    f, I, x, y   
x, S    x, D, y    f, X, x, y   
f, Y, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f)    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem gsumbagdiaglem
Dummy variables  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } )
2 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  o R  <_ 
( F  o F  -  X )  <->  Y  o R  <_  ( F  o F  -  X )
) )
32elrab 2936 . . . . 5  |-  ( Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) }  <->  ( Y  e.  D  /\  Y  o R  <_  ( F  o F  -  X )
) )
41, 3sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  e.  D  /\  Y  o R  <_  ( F  o F  -  X
) ) )
54simpld 445 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  e.  D )
64simprd 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  o R  <_  ( F  o F  -  X
) )
7 gsumbagdiag.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
87adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  I  e.  V )
9 gsumbagdiag.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
109adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  F  e.  D )
11 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  e.  S )
12 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  (
y  o R  <_  F 
<->  X  o R  <_  F ) )
13 psrbagconf1o.1 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
1412, 13elrab2 2938 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  S  <->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  F ) )
1511, 14sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  F
) )
1615simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  e.  D )
17 psrbag.d . . . . . . . 8  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1817psrbagf 16129 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
198, 16, 18syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X : I --> NN0 )
2015simprd 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  o R  <_  F )
2117psrbagcon 16133 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  X : I --> NN0  /\  X  o R  <_  F
) )  ->  (
( F  o F  -  X )  e.  D  /\  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F ) )
228, 10, 19, 20, 21syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  (
( F  o F  -  X )  e.  D  /\  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F ) )
2322simprd 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F )
2417psrbagf 16129 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
258, 5, 24syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y : I --> NN0 )
2622simpld 445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  X
)  e.  D )
2717psrbagf 16129 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  X )  e.  D
)  ->  ( F  o F  -  X
) : I --> NN0 )
288, 26, 27syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  X
) : I --> NN0 )
2917psrbagf 16129 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
308, 10, 29syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  F : I --> NN0 )
31 nn0re 9990 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  NN0  ->  u  e.  RR )
32 nn0re 9990 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  NN0  ->  v  e.  RR )
33 nn0re 9990 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  NN0  ->  w  e.  RR )
34 letr 8930 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  RR  /\  v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  (
( u  <_  v  /\  v  <_  w )  ->  u  <_  w
) )
3531, 32, 33, 34syl3an 1224 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  NN0  /\  v  e.  NN0  /\  w  e.  NN0 )  ->  (
( u  <_  v  /\  v  <_  w )  ->  u  <_  w
) )
3635adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  ( u  e. 
NN0  /\  v  e.  NN0 
/\  w  e.  NN0 ) )  ->  (
( u  <_  v  /\  v  <_  w )  ->  u  <_  w
) )
378, 25, 28, 30, 36caoftrn 6128 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  (
( Y  o R  <_  ( F  o F  -  X )  /\  ( F  o F  -  X )  o R  <_  F )  ->  Y  o R  <_  F ) )
386, 23, 37mp2and 660 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  o R  <_  F )
39 breq1 4042 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  o R  <_  F 
<->  Y  o R  <_  F ) )
4039, 13elrab2 2938 . . 3  |-  ( Y  e.  S  <->  ( Y  e.  D  /\  Y  o R  <_  F ) )
415, 38, 40sylanbrc 645 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  e.  S )
42 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( X : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z
)  e.  NN0 )
4319, 42sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
44 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z
)  e.  NN0 )
4525, 44sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
46 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( F `  z
)  e.  NN0 )
4730, 46sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( F `  z )  e.  NN0 )
48 nn0re 9990 . . . . . . . 8  |-  ( ( X `  z )  e.  NN0  ->  ( X `
 z )  e.  RR )
49 nn0re 9990 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y `  z )  e.  NN0  ->  ( Y `
 z )  e.  RR )
50 nn0re 9990 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  z )  e.  NN0  ->  ( F `
 z )  e.  RR )
51 leaddsub2 9267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  (
( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  <_  ( F `  z )  <->  ( Y `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( X `
 z ) ) ) )
52 leaddsub 9266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  (
( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  <_  ( F `  z )  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5351, 52bitr3d 246 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  (
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5448, 49, 50, 53syl3an 1224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  NN0  /\  ( Y `  z )  e.  NN0  /\  ( F `  z )  e.  NN0 )  ->  (
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5543, 45, 47, 54syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( ( Y `  z )  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z )
)  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5655ralbidva 2572 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( A. z  e.  I 
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  <->  A. z  e.  I  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
57 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V
5857a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V )
5925feqmptd 5591 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) )
60 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
6130, 60syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  F  Fn  I )
62 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( X : I --> NN0  ->  X  Fn  I )
6319, 62syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  Fn  I )
64 inidm 3391 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  I )  =  I
65 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
66 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( X `  z )  =  ( X `  z ) )
6761, 63, 8, 8, 64, 65, 66offval 6101 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  X
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) ) ) )
688, 45, 58, 59, 67ofrfval2 6112 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  o R  <_  ( F  o F  -  X
)  <->  A. z  e.  I 
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) ) ) )
69 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) )  e. 
_V
7069a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) )  e. 
_V )
7119feqmptd 5591 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `  z ) ) )
72 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( Y : I --> NN0  ->  Y  Fn  I )
7325, 72syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  Fn  I )
74 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( Y `  z )  =  ( Y `  z ) )
7561, 73, 8, 8, 64, 65, 74offval 6101 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  Y
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) ) ) )
768, 43, 70, 71, 75ofrfval2 6112 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( X  o R  <_  ( F  o F  -  Y
)  <->  A. z  e.  I 
( X `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) ) ) )
7756, 68, 763bitr4d 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  o R  <_  ( F  o F  -  X
)  <->  X  o R  <_  ( F  o F  -  Y ) ) )
786, 77mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  o R  <_  ( F  o F  -  Y
) )
79 breq1 4042 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x  o R  <_ 
( F  o F  -  Y )  <->  X  o R  <_  ( F  o F  -  Y )
) )
8079elrab 2936 . . 3  |-  ( X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  Y
) }  <->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  ( F  o F  -  Y )
) )
8116, 78, 80sylanbrc 645 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  Y ) } )
8241, 81jca 518 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  e.  S  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  Y
) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    o Rcofr 6093    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   RRcr 8752    + caddc 8756    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  16138  psrass1lem  16139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982
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