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Theorem gsumbagdiaglem 16440
Description: Lemma for gsumbagdiag 16441. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
Assertion
Ref Expression
gsumbagdiaglem  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  e.  S  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  Y
) } ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    x, V, y    f, I, x, y   
x, S    x, D, y    f, X, x, y   
f, Y, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f)    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem gsumbagdiaglem
Dummy variables  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } )
2 breq1 4215 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  o R  <_ 
( F  o F  -  X )  <->  Y  o R  <_  ( F  o F  -  X )
) )
32elrab 3092 . . . . 5  |-  ( Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) }  <->  ( Y  e.  D  /\  Y  o R  <_  ( F  o F  -  X )
) )
41, 3sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  e.  D  /\  Y  o R  <_  ( F  o F  -  X
) ) )
54simpld 446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  e.  D )
64simprd 450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  o R  <_  ( F  o F  -  X
) )
7 gsumbagdiag.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
87adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  I  e.  V )
9 gsumbagdiag.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
109adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  F  e.  D )
11 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  e.  S )
12 breq1 4215 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  (
y  o R  <_  F 
<->  X  o R  <_  F ) )
13 psrbagconf1o.1 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
1412, 13elrab2 3094 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  S  <->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  F ) )
1511, 14sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  F
) )
1615simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  e.  D )
17 psrbag.d . . . . . . . 8  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1817psrbagf 16432 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
198, 16, 18syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X : I --> NN0 )
2015simprd 450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  o R  <_  F )
2117psrbagcon 16436 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  X : I --> NN0  /\  X  o R  <_  F
) )  ->  (
( F  o F  -  X )  e.  D  /\  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F ) )
228, 10, 19, 20, 21syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  (
( F  o F  -  X )  e.  D  /\  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F ) )
2322simprd 450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  X
)  o R  <_  F )
2417psrbagf 16432 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
258, 5, 24syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y : I --> NN0 )
2622simpld 446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  X
)  e.  D )
2717psrbagf 16432 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  X )  e.  D
)  ->  ( F  o F  -  X
) : I --> NN0 )
288, 26, 27syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  X
) : I --> NN0 )
2917psrbagf 16432 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
308, 10, 29syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  F : I --> NN0 )
31 nn0re 10230 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  NN0  ->  u  e.  RR )
32 nn0re 10230 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  NN0  ->  v  e.  RR )
33 nn0re 10230 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  NN0  ->  w  e.  RR )
34 letr 9167 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  RR  /\  v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  (
( u  <_  v  /\  v  <_  w )  ->  u  <_  w
) )
3531, 32, 33, 34syl3an 1226 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  NN0  /\  v  e.  NN0  /\  w  e.  NN0 )  ->  (
( u  <_  v  /\  v  <_  w )  ->  u  <_  w
) )
3635adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  ( u  e. 
NN0  /\  v  e.  NN0 
/\  w  e.  NN0 ) )  ->  (
( u  <_  v  /\  v  <_  w )  ->  u  <_  w
) )
378, 25, 28, 30, 36caoftrn 6339 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  (
( Y  o R  <_  ( F  o F  -  X )  /\  ( F  o F  -  X )  o R  <_  F )  ->  Y  o R  <_  F ) )
386, 23, 37mp2and 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  o R  <_  F )
39 breq1 4215 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  o R  <_  F 
<->  Y  o R  <_  F ) )
4039, 13elrab2 3094 . . 3  |-  ( Y  e.  S  <->  ( Y  e.  D  /\  Y  o R  <_  F ) )
415, 38, 40sylanbrc 646 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  e.  S )
4219ffvelrnda 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
4325ffvelrnda 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
4430ffvelrnda 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( F `  z )  e.  NN0 )
45 nn0re 10230 . . . . . . . 8  |-  ( ( X `  z )  e.  NN0  ->  ( X `
 z )  e.  RR )
46 nn0re 10230 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y `  z )  e.  NN0  ->  ( Y `
 z )  e.  RR )
47 nn0re 10230 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  z )  e.  NN0  ->  ( F `
 z )  e.  RR )
48 leaddsub2 9505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  (
( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  <_  ( F `  z )  <->  ( Y `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( X `
 z ) ) ) )
49 leaddsub 9504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  (
( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  <_  ( F `  z )  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5048, 49bitr3d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  (
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5145, 46, 47, 50syl3an 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  NN0  /\  ( Y `  z )  e.  NN0  /\  ( F `  z )  e.  NN0 )  ->  (
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5242, 43, 44, 51syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( ( Y `  z )  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z )
)  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5352ralbidva 2721 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( A. z  e.  I 
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  <->  A. z  e.  I  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
54 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V
5554a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V )
5625feqmptd 5779 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) )
57 ffn 5591 . . . . . . . 8  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
5830, 57syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  F  Fn  I )
59 ffn 5591 . . . . . . . 8  |-  ( X : I --> NN0  ->  X  Fn  I )
6019, 59syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  Fn  I )
61 inidm 3550 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  I )  =  I
62 eqidd 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
63 eqidd 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( X `  z )  =  ( X `  z ) )
6458, 60, 8, 8, 61, 62, 63offval 6312 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  X
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) ) ) )
658, 43, 55, 56, 64ofrfval2 6323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  o R  <_  ( F  o F  -  X
)  <->  A. z  e.  I 
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) ) ) )
66 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) )  e. 
_V
6766a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) )  e. 
_V )
6819feqmptd 5779 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `  z ) ) )
69 ffn 5591 . . . . . . . 8  |-  ( Y : I --> NN0  ->  Y  Fn  I )
7025, 69syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  Y  Fn  I )
71 eqidd 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( Y `  z )  =  ( Y `  z ) )
7258, 70, 8, 8, 61, 62, 71offval 6312 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( F  o F  -  Y
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) ) ) )
738, 42, 67, 68, 72ofrfval2 6323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( X  o R  <_  ( F  o F  -  Y
)  <->  A. z  e.  I 
( X `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) ) ) )
7453, 65, 733bitr4d 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  o R  <_  ( F  o F  -  X
)  <->  X  o R  <_  ( F  o F  -  Y ) ) )
756, 74mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  o R  <_  ( F  o F  -  Y
) )
76 breq1 4215 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x  o R  <_ 
( F  o F  -  Y )  <->  X  o R  <_  ( F  o F  -  Y )
) )
7776elrab 3092 . . 3  |-  ( X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  Y
) }  <->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  ( F  o F  -  Y )
) )
7816, 75, 77sylanbrc 646 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  Y ) } )
7941, 78jca 519 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  X ) } ) )  ->  ( Y  e.  S  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  Y
) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709   _Vcvv 2956   class class class wbr 4212   `'ccnv 4877   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303    o Rcofr 6304    ^m cmap 7018   Fincfn 7109   RRcr 8989    + caddc 8993    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   NN0cn0 10221
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  16441  psrass1lem  16442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222
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