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Theorem gsumccat 14792
 Description: Homomorphic property of composites. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumwcl.b
gsumccat.p
Assertion
Ref Expression
gsumccat Word Word g concat g g

Proof of Theorem gsumccat
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6091 . . . 4 concat concat
21oveq2d 6100 . . 3 g concat g concat
3 oveq2 6092 . . . . 5 g g
4 eqid 2438 . . . . . 6
54gsum0 14785 . . . . 5 g
63, 5syl6eq 2486 . . . 4 g
76oveq1d 6099 . . 3 g g g
82, 7eqeq12d 2452 . 2 g concat g g g concat g
9 oveq2 6092 . . . . 5 concat concat
109oveq2d 6100 . . . 4 g concat g concat
11 oveq2 6092 . . . . . 6 g g
1211, 5syl6eq 2486 . . . . 5 g
1312oveq2d 6100 . . . 4 g g g
1410, 13eqeq12d 2452 . . 3 g concat g g g concat g
15 gsumwcl.b . . . . . 6
16 gsumccat.p . . . . . 6
17 simpl1 961 . . . . . 6 Word Word
18 lennncl 11741 . . . . . . . . . . 11 Word
19183ad2antl2 1121 . . . . . . . . . 10 Word Word
2019adantrr 699 . . . . . . . . 9 Word Word
21 lennncl 11741 . . . . . . . . . . 11 Word
22213ad2antl3 1122 . . . . . . . . . 10 Word Word
2322adantrl 698 . . . . . . . . 9 Word Word
2420, 23nnaddcld 10051 . . . . . . . 8 Word Word
25 nnm1nn0 10266 . . . . . . . 8
2624, 25syl 16 . . . . . . 7 Word Word
27 nn0uz 10525 . . . . . . 7
2826, 27syl6eleq 2528 . . . . . 6 Word Word
29 simpl2 962 . . . . . . . . 9 Word Word Word
30 simpl3 963 . . . . . . . . 9 Word Word Word
31 ccatcl 11748 . . . . . . . . 9 Word Word concat Word
3229, 30, 31syl2anc 644 . . . . . . . 8 Word Word concat Word
33 wrdf 11738 . . . . . . . 8 concat Word concat ..^ concat
3432, 33syl 16 . . . . . . 7 Word Word concat ..^ concat
35 ccatlen 11749 . . . . . . . . . . 11 Word Word concat
3629, 30, 35syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 Word Word concat
3736oveq2d 6100 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ concat ..^
3820nnzd 10379 . . . . . . . . . . 11 Word Word
3923nnzd 10379 . . . . . . . . . . 11 Word Word
4038, 39zaddcld 10384 . . . . . . . . . 10 Word Word
41 fzoval 11146 . . . . . . . . . 10 ..^
4240, 41syl 16 . . . . . . . . 9 Word Word ..^
4337, 42eqtrd 2470 . . . . . . . 8 Word Word ..^ concat
4443feq2d 5584 . . . . . . 7 Word Word concat ..^ concat concat
4534, 44mpbid 203 . . . . . 6 Word Word concat
4615, 16, 17, 28, 45gsumval2 14788 . . . . 5 Word Word g concat concat
47 nnm1nn0 10266 . . . . . . . . . 10
4820, 47syl 16 . . . . . . . . 9 Word Word
4948, 27syl6eleq 2528 . . . . . . . 8 Word Word
50 wrdf 11738 . . . . . . . . . 10 Word ..^
5129, 50syl 16 . . . . . . . . 9 Word Word ..^
52 fzoval 11146 . . . . . . . . . . 11 ..^
5338, 52syl 16 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^
5453feq2d 5584 . . . . . . . . 9 Word Word ..^
5551, 54mpbid 203 . . . . . . . 8 Word Word
5615, 16, 17, 49, 55gsumval2 14788 . . . . . . 7 Word Word g
57 nnm1nn0 10266 . . . . . . . . . 10
5823, 57syl 16 . . . . . . . . 9 Word Word
5958, 27syl6eleq 2528 . . . . . . . 8 Word Word
60 wrdf 11738 . . . . . . . . . 10 Word ..^
6130, 60syl 16 . . . . . . . . 9 Word Word ..^
62 fzoval 11146 . . . . . . . . . . 11 ..^
6339, 62syl 16 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^
6463feq2d 5584 . . . . . . . . 9 Word Word ..^
6561, 64mpbid 203 . . . . . . . 8 Word Word
6615, 16, 17, 59, 65gsumval2 14788 . . . . . . 7 Word Word g
6756, 66oveq12d 6102 . . . . . 6 Word Word g g
6815, 16mndcl 14700 . . . . . . . . . 10
69683expb 1155 . . . . . . . . 9
7017, 69sylan 459 . . . . . . . 8 Word Word
7115, 16mndass 14701 . . . . . . . . 9
7217, 71sylan 459 . . . . . . . 8 Word Word
73 uzid 10505 . . . . . . . . . . 11
7438, 73syl 16 . . . . . . . . . 10 Word Word
75 uzaddcl 10538 . . . . . . . . . 10
7674, 58, 75syl2anc 644 . . . . . . . . 9 Word Word
7720nncnd 10021 . . . . . . . . . 10 Word Word
7823nncnd 10021 . . . . . . . . . 10 Word Word
79 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . 11
8079a1i 11 . . . . . . . . . 10 Word Word
8177, 78, 80addsubassd 9436 . . . . . . . . 9 Word Word
82 npcan 9319 . . . . . . . . . . 11
8377, 79, 82sylancl 645 . . . . . . . . . 10 Word Word
8483fveq2d 5735 . . . . . . . . 9 Word Word
8576, 81, 843eltr4d 2519 . . . . . . . 8 Word Word
8645ffvelrnda 5873 . . . . . . . 8 Word Word concat
8770, 72, 85, 49, 86seqsplit 11361 . . . . . . 7 Word Word concat concat concat
88 simpll2 998 . . . . . . . . . 10 Word Word Word
89 simpll3 999 . . . . . . . . . 10 Word Word Word
9053eleq2d 2505 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^
9190biimpar 473 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^
92 ccatval1 11750 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^ concat
9388, 89, 91, 92syl3anc 1185 . . . . . . . . 9 Word Word concat
9449, 93seqfveq 11352 . . . . . . . 8 Word Word concat
9577addid2d 9272 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
9683, 95eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11 Word Word
9796seqeq1d 11334 . . . . . . . . . 10 Word Word concat concat
9877, 78addcomd 9273 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
9998oveq1d 6099 . . . . . . . . . . 11 Word Word
10078, 77, 80addsubd 9437 . . . . . . . . . . 11 Word Word
10199, 100eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10 Word Word
10297, 101fveq12d 5737 . . . . . . . . 9 Word Word concat concat
103 simpll2 998 . . . . . . . . . . . 12 Word Word Word
104 simpll3 999 . . . . . . . . . . . 12 Word Word Word
10563eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word ..^
106105biimpar 473 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^
107 ccatval3 11752 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^ concat
108103, 104, 106, 107syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11 Word Word concat
109108eqcomd 2443 . . . . . . . . . 10 Word Word concat
11059, 38, 109seqshft2 11354 . . . . . . . . 9 Word Word concat
111102, 110eqtr4d 2473 . . . . . . . 8 Word Word concat
11294, 111oveq12d 6102 . . . . . . 7 Word Word concat concat
11387, 112eqtrd 2470 . . . . . 6 Word Word concat
11467, 113eqtr4d 2473 . . . . 5 Word Word g g concat
11546, 114eqtr4d 2473 . . . 4 Word Word g concat g g
116115anassrs 631 . . 3 Word Word g concat g g
117 simpl2 962 . . . . . 6 Word Word Word
118 ccatrid 11754 . . . . . 6 Word concat
119117, 118syl 16 . . . . 5 Word Word concat
120119oveq2d 6100 . . . 4 Word Word g concat g
121 simpl1 961 . . . . 5 Word Word
12215gsumwcl 14791 . . . . . . 7 Word g
1231223adant3 978 . . . . . 6 Word Word g
124123adantr 453 . . . . 5 Word Word g
12515, 16, 4mndrid 14722 . . . . 5 g g g
126121, 124, 125syl2anc 644 . . . 4 Word Word g g
127120, 126eqtr4d 2473 . . 3 Word Word g concat g
12814, 116, 127pm2.61ne 2681 . 2 Word Word g concat g g
129 ccatlid 11753 . . . . 5 Word concat
1301293ad2ant3 981 . . . 4 Word Word concat
131130oveq2d 6100 . . 3 Word Word g concat g
132 simp1 958 . . . 4 Word Word
13315gsumwcl 14791 . . . . 5 Word g
1341333adant2 977 . . . 4 Word Word g
13515, 16, 4mndlid 14721 . . . 4 g g g
136132, 134, 135syl2anc 644 . . 3 Word Word g g
137131, 136eqtr4d 2473 . 2 Word Word g concat g
1388, 128, 137pm2.61ne 2681 1 Word Word g concat g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  c0 3630  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998   cmin 9296  cn 10005  cn0 10226  cz 10287  cuz 10493  cfz 11048  ..^cfzo 11140   cseq 11328  chash 11623  Word cword 11722   concat cconcat 11723  cbs 13474   cplusg 13534  c0g 13728   g cgsu 13729  cmnd 14689 This theorem is referenced by:  gsumws2  14793  gsumspl  14794  gsumwspan  14796  frmdgsum  14812  frmdup1  14814  gsumwrev  15167  frgpuplem  15409  frgpup1  15412  psgnunilem5  27408  psgnuni  27413  psgnghm  27428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-word 11728  df-concat 11729  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mnd 14695  df-submnd 14744
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