Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumcom2 Structured version   Unicode version

Theorem gsumcom2 15554
 Description: Two-dimensional commutation of a group sum. Note that while and are constants w.r.t. , and are not. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b
gsum2d2.z
gsum2d2.g CMnd
gsum2d2.a
gsum2d2.r
gsum2d2.f
gsum2d2.u
gsum2d2.n
gsumcom2.d
gsumcom2.c
Assertion
Ref Expression
gsumcom2 g g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem gsumcom2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3
2 gsum2d2.z . . 3
3 gsum2d2.g . . 3 CMnd
4 gsum2d2.a . . . 4
5 snex 4408 . . . . . 6
6 gsum2d2.r . . . . . 6
7 xpexg 4992 . . . . . 6
85, 6, 7sylancr 646 . . . . 5
98ralrimiva 2791 . . . 4
10 iunexg 5990 . . . 4
114, 9, 10syl2anc 644 . . 3
12 gsum2d2.f . . . . 5
1312ralrimivva 2800 . . . 4
14 eqid 2438 . . . . 5
1514fmpt2x 6420 . . . 4
1613, 15sylib 190 . . 3
17 gsum2d2.u . . . 4
18 gsum2d2.n . . . 4
191, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 18gsum2d2lem 15552 . . 3
20 relxp 4986 . . . . . . 7
2120rgenw 2775 . . . . . 6
22 reliun 4998 . . . . . 6
2321, 22mpbir 202 . . . . 5
24 cnvf1o 6448 . . . . 5
2523, 24ax-mp 5 . . . 4
26 relxp 4986 . . . . . . . 8
2726rgenw 2775 . . . . . . 7
28 reliun 4998 . . . . . . 7
2927, 28mpbir 202 . . . . . 6
30 relcnv 5245 . . . . . 6
31 nfv 1630 . . . . . . . 8
32 nfv 1630 . . . . . . . . 9
33 nfiu1 4123 . . . . . . . . . . 11
3433nfcnv 5054 . . . . . . . . . 10
3534nfel2 2586 . . . . . . . . 9
3632, 35nfbi 1857 . . . . . . . 8
3731, 36nfim 1833 . . . . . . 7
38 opeq2 3987 . . . . . . . . . 10
3938eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
4038eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
4139, 40bibi12d 314 . . . . . . . 8
4241imbi2d 309 . . . . . . 7
43 nfv 1630 . . . . . . . . 9
44 nfiu1 4123 . . . . . . . . . . 11
4544nfel2 2586 . . . . . . . . . 10
46 nfv 1630 . . . . . . . . . 10
4745, 46nfbi 1857 . . . . . . . . 9
4843, 47nfim 1833 . . . . . . . 8
49 opeq1 3986 . . . . . . . . . . 11
5049eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10
5149eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10
5250, 51bibi12d 314 . . . . . . . . 9
5352imbi2d 309 . . . . . . . 8
54 gsumcom2.c . . . . . . . . . 10
55 opeliunxp 4932 . . . . . . . . . 10
56 opeliunxp 4932 . . . . . . . . . 10
5754, 55, 563bitr4g 281 . . . . . . . . 9
58 vex 2961 . . . . . . . . . 10
59 vex 2961 . . . . . . . . . 10
6058, 59opelcnv 5057 . . . . . . . . 9
6157, 60syl6bbr 256 . . . . . . . 8
6248, 53, 61chvar 1969 . . . . . . 7
6337, 42, 62chvar 1969 . . . . . 6
6429, 30, 63eqrelrdv 4975 . . . . 5
65 f1oeq3 5670 . . . . 5
6664, 65syl 16 . . . 4
6725, 66mpbiri 226 . . 3
681, 2, 3, 11, 16, 19, 67gsumf1o 15527 . 2 g g
69 sneq 3827 . . . . . . . . . . 11
7069cnveqd 5051 . . . . . . . . . 10
7170unieqd 4028 . . . . . . . . 9
72 opswap 5359 . . . . . . . . 9
7371, 72syl6eq 2486 . . . . . . . 8
7473fveq2d 5735 . . . . . . 7
75 df-ov 6087 . . . . . . 7
7674, 75syl6eqr 2488 . . . . . 6
7776mpt2mptx 6167 . . . . 5
78 nfcv 2574 . . . . . . 7
79 nfcv 2574 . . . . . . . 8
80 nfcsb1v 3285 . . . . . . . 8
8179, 80nfxp 4907 . . . . . . 7
82 sneq 3827 . . . . . . . 8
83 csbeq1a 3261 . . . . . . . 8
8482, 83xpeq12d 4906 . . . . . . 7
8578, 81, 84cbviun 4130 . . . . . 6
86 mpteq1 4292 . . . . . 6
8785, 86ax-mp 5 . . . . 5
88 nfcv 2574 . . . . . 6
89 nfcv 2574 . . . . . 6
90 nfcv 2574 . . . . . 6
91 nfcv 2574 . . . . . . 7
92 nfmpt22 6144 . . . . . . 7
93 nfcv 2574 . . . . . . 7
9491, 92, 93nfov 6107 . . . . . 6
95 nfcv 2574 . . . . . . 7
96 nfmpt21 6143 . . . . . . 7
97 nfcv 2574 . . . . . . 7
9895, 96, 97nfov 6107 . . . . . 6
99 oveq2 6092 . . . . . . 7
100 oveq1 6091 . . . . . . 7
10199, 100sylan9eq 2490 . . . . . 6
10288, 80, 89, 90, 94, 98, 83, 101cbvmpt2x 6153 . . . . 5
10377, 87, 1023eqtr4i 2468 . . . 4
104 f1of 5677 . . . . . . 7
10567, 104syl 16 . . . . . 6
106 eqid 2438 . . . . . . 7
107106fmpt 5893 . . . . . 6
108105, 107sylibr 205 . . . . 5
109 eqidd 2439 . . . . 5
11016feqmptd 5782 . . . . 5
111 fveq2 5731 . . . . 5
112108, 109, 110, 111fmptcof 5905 . . . 4
11312ex 425 . . . . . . . . 9
11414ovmpt4g 6199 . . . . . . . . . 10
1151143expia 1156 . . . . . . . . 9
116113, 115sylcom 28 . . . . . . . 8
11754, 116sylbird 228 . . . . . . 7
1181173impib 1152 . . . . . 6
119118eqcomd 2443 . . . . 5
120119mpt2eq3dva 6141 . . . 4
121103, 112, 1203eqtr4a 2496 . . 3
122121oveq2d 6100 . 2 g g
12368, 122eqtrd 2470 1 g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958  csb 3253  csn 3816  cop 3819  cuni 4017  ciun 4095   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cxp 4879  ccnv 4880   ccom 4885   wrel 4886  wf 5453  wf1o 5456  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  cfn 7112  cbs 13474  c0g 13728   g cgsu 13729  CMndccmn 15417 This theorem is referenced by:  gsumcom  15556  gsumbagdiag  16446 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mnd 14695  df-cntz 15121  df-cmn 15419
 Copyright terms: Public domain W3C validator