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Theorem gsumcom2 15554
Description: Two-dimensional commutation of a group sum. Note that while  A and  D are constants w.r.t.  j ,  k,  C ( j ) and 
E ( k ) are not. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d2.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d2.r  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
gsum2d2.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsum2d2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsum2d2.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
gsumcom2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
gsumcom2.c  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  <->  ( k  e.  D  /\  j  e.  E ) ) )
Assertion
Ref Expression
gsumcom2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, B    D, j, k    j, E    ph, j, k    A, j, k    j, G, k    U, j, k    C, k   
j, V    .0. , j,
k
Allowed substitution hints:    C( j)    E( k)    V( k)    W( j, k)    X( j, k)    Y( j, k)

Proof of Theorem gsumcom2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsum2d2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsum2d2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsum2d2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 snex 4408 . . . . . 6  |-  { j }  e.  _V
6 gsum2d2.r . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
7 xpexg 4992 . . . . . 6  |-  ( ( { j }  e.  _V  /\  C  e.  W
)  ->  ( {
j }  X.  C
)  e.  _V )
85, 6, 7sylancr 646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
98ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
10 iunexg 5990 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
114, 9, 10syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
12 gsum2d2.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
1312ralrimivva 2800 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B )
14 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  =  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
1514fmpt2x 6420 . . . 4  |-  ( A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B  <->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) :
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
1613, 15sylib 190 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) : U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
17 gsum2d2.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
18 gsum2d2.n . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
191, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 18gsum2d2lem 15552 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
20 relxp 4986 . . . . . . 7  |-  Rel  ( { k }  X.  E )
2120rgenw 2775 . . . . . 6  |-  A. k  e.  D  Rel  ( { k }  X.  E
)
22 reliun 4998 . . . . . 6  |-  ( Rel  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  A. k  e.  D  Rel  ( { k }  X.  E
) )
2321, 22mpbir 202 . . . . 5  |-  Rel  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)
24 cnvf1o 6448 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  ->  (
z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
26 relxp 4986 . . . . . . . 8  |-  Rel  ( { j }  X.  C )
2726rgenw 2775 . . . . . . 7  |-  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
)
28 reliun 4998 . . . . . . 7  |-  ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
) )
2927, 28mpbir 202 . . . . . 6  |-  Rel  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)
30 relcnv 5245 . . . . . 6  |-  Rel  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
31 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ k
ph
32 nfv 1630 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
<. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
33 nfiu1 4123 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
3433nfcnv 5054 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
3534nfel2 2586 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
<. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
3632, 35nfbi 1857 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( <. x ,  y
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )
3731, 36nfim 1833 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  ->  ( <. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
38 opeq2 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  y  ->  <. x ,  k >.  =  <. x ,  y >. )
3938eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  y  ->  ( <. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) ) )
4038eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  y  ->  ( <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
4139, 40bibi12d 314 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  y  ->  (
( <. x ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) ) )
4241imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( k  =  y  ->  (
( ph  ->  ( <.
x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) ) ) )
43 nfv 1630 . . . . . . . . 9  |-  F/ j
ph
44 nfiu1 4123 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
4544nfel2 2586 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
<. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
46 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
<. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
4745, 46nfbi 1857 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( <. x ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )
4843, 47nfim 1833 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  ->  ( <. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
49 opeq1 3986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  x  ->  <. j ,  k >.  =  <. x ,  k >. )
5049eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  x  ->  ( <. j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) ) )
5149eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  x  ->  ( <. j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
5250, 51bibi12d 314 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  x  ->  (
( <. j ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )  <->  ( <. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) ) )
5352imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  x  ->  (
( ph  ->  ( <.
j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( <.
x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) ) ) )
54 gsumcom2.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  <->  ( k  e.  D  /\  j  e.  E ) ) )
55 opeliunxp 4932 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
56 opeliunxp 4932 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
k ,  j >.  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  ( k  e.  D  /\  j  e.  E ) )
5754, 55, 563bitr4g 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( <. j ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. k ,  j >.  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
58 vex 2961 . . . . . . . . . 10  |-  j  e. 
_V
59 vex 2961 . . . . . . . . . 10  |-  k  e. 
_V
6058, 59opelcnv 5057 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  <. k ,  j >.  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
) )
6157, 60syl6bbr 256 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( <. j ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6248, 53, 61chvar 1969 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6337, 42, 62chvar 1969 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6429, 30, 63eqrelrdv 4975 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  =  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )
65 f1oeq3 5670 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  =  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  ->  (
( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> `'
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6664, 65syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e. 
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> `'
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6725, 66mpbiri 226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
681, 2, 3, 11, 16, 19, 67gsumf1o 15527 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  o.  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) ) ) )
69 sneq 3827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  { z }  =  { <. x ,  y >. } )
7069cnveqd 5051 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  `' { z }  =  `' { <. x ,  y >. } )
7170unieqd 4028 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  U. `' { z }  =  U. `' { <. x ,  y
>. } )
72 opswap 5359 . . . . . . . . 9  |-  U. `' { <. x ,  y
>. }  =  <. y ,  x >.
7371, 72syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  U. `' { z }  =  <. y ,  x >. )
7473fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 U. `' {
z } )  =  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  <. y ,  x >. ) )
75 df-ov 6087 . . . . . . 7  |-  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x )  =  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 <. y ,  x >. )
7674, 75syl6eqr 2488 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 U. `' {
z } )  =  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
7776mpt2mptx 6167 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ x  e.  D  ( { x }  X.  [_ x  / 
k ]_ E )  |->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  [_ x  / 
k ]_ E  |->  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
78 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( { k }  X.  E )
79 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ k { x }
80 nfcsb1v 3285 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ E
8179, 80nfxp 4907 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( { x }  X.  [_ x  /  k ]_ E )
82 sneq 3827 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  { k }  =  { x } )
83 csbeq1a 3261 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  E  =  [_ x  /  k ]_ E )
8482, 83xpeq12d 4906 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  ( { k }  X.  E )  =  ( { x }  X.  [_ x  /  k ]_ E ) )
8578, 81, 84cbviun 4130 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  =  U_ x  e.  D  ( {
x }  X.  [_ x  /  k ]_ E
)
86 mpteq1 4292 . . . . . 6  |-  ( U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  =  U_ x  e.  D  ( { x }  X.  [_ x  /  k ]_ E )  ->  (
z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 U. `' {
z } ) )  =  ( z  e. 
U_ x  e.  D  ( { x }  X.  [_ x  /  k ]_ E )  |->  ( ( j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) ) )
8785, 86ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )  =  ( z  e.  U_ x  e.  D  ( { x }  X.  [_ x  / 
k ]_ E )  |->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )
88 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ x E
89 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ x
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )
90 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ y
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )
91 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ k
y
92 nfmpt22 6144 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
93 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ k
x
9491, 92, 93nfov 6107 . . . . . 6  |-  F/_ k
( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x )
95 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ j
y
96 nfmpt21 6143 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
97 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ j
x
9895, 96, 97nfov 6107 . . . . . 6  |-  F/_ j
( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x )
99 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
100 oveq1 6091 . . . . . . 7  |-  ( j  =  y  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x )  =  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
10199, 100sylan9eq 2490 . . . . . 6  |-  ( ( k  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
10288, 80, 89, 90, 94, 98, 83, 101cbvmpt2x 6153 . . . . 5  |-  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  [_ x  / 
k ]_ E  |->  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
10377, 87, 1023eqtr4i 2468 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )  =  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
104 f1of 5677 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  (
z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) --> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) )
10567, 104syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -->
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
106 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  U. `' { z } )  =  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  U. `' { z } )
107106fmpt 5893 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  U_  k  e.  D  ( { k }  X.  E ) U. `' { z }  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  <->  ( z  e. 
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -->
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
108105, 107sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U_  k  e.  D  ( { k }  X.  E ) U. `' { z }  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
109 eqidd 2439 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } )  =  ( z  e. 
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) )
11016feqmptd 5782 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  =  ( x  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  |->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 x ) ) )
111 fveq2 5731 . . . . 5  |-  ( x  =  U. `' {
z }  ->  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  x
)  =  ( ( j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )
112108, 109, 110, 111fmptcof 5905 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  o.  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) )  =  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) ) )
11312ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  ->  X  e.  B ) )
11414ovmpt4g 6199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C  /\  X  e.  B )  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
1151143expia 1156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  ->  ( X  e.  B  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X ) )
116113, 115sylcom 28 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X ) )
11754, 116sylbird 228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  D  /\  j  e.  E )  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X ) )
1181173impib 1152 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D  /\  j  e.  E
)  ->  ( j
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
119118eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D  /\  j  e.  E
)  ->  X  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
120119mpt2eq3dva 6141 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X )  =  ( k  e.  D , 
j  e.  E  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) ) )
121103, 112, 1203eqtr4a 2496 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  o.  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) )  =  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X ) )
122121oveq2d 6100 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  o.  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X ) ) )
12368, 122eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   [_csb 3253   {csn 3816   <.cop 3819   U.cuni 4017   U_ciun 4095   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    X. cxp 4879   `'ccnv 4880    o. ccom 4885   Rel wrel 4886   -->wf 5453   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   Fincfn 7112   Basecbs 13474   0gc0g 13728    gsumg cgsu 13729  CMndccmn 15417
This theorem is referenced by:  gsumcom  15556  gsumbagdiag  16446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mnd 14695  df-cntz 15121  df-cmn 15419
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