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Theorem gsumcom2 15476
Description: Two-dimensional commutation of a group sum. Note that while  A and  D are constants w.r.t.  j ,  k,  C ( j ) and 
E ( k ) are not. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d2.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d2.r  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
gsum2d2.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsum2d2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsum2d2.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
gsumcom2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
gsumcom2.c  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  <->  ( k  e.  D  /\  j  e.  E ) ) )
Assertion
Ref Expression
gsumcom2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, B    D, j, k    j, E    ph, j, k    A, j, k    j, G, k    U, j, k    C, k   
j, V    .0. , j,
k
Allowed substitution hints:    C( j)    E( k)    V( k)    W( j, k)    X( j, k)    Y( j, k)

Proof of Theorem gsumcom2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsum2d2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsum2d2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsum2d2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 snex 4346 . . . . . 6  |-  { j }  e.  _V
6 gsum2d2.r . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
7 xpexg 4929 . . . . . 6  |-  ( ( { j }  e.  _V  /\  C  e.  W
)  ->  ( {
j }  X.  C
)  e.  _V )
85, 6, 7sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
98ralrimiva 2732 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
10 iunexg 5926 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
114, 9, 10syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
12 gsum2d2.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
1312ralrimivva 2741 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B )
14 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  =  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
1514fmpt2x 6356 . . . 4  |-  ( A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B  <->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) :
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
1613, 15sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) : U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
17 gsum2d2.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
18 gsum2d2.n . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
191, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 18gsum2d2lem 15474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
20 relxp 4923 . . . . . . 7  |-  Rel  ( { k }  X.  E )
2120rgenw 2716 . . . . . 6  |-  A. k  e.  D  Rel  ( { k }  X.  E
)
22 reliun 4935 . . . . . 6  |-  ( Rel  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  A. k  e.  D  Rel  ( { k }  X.  E
) )
2321, 22mpbir 201 . . . . 5  |-  Rel  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)
24 cnvf1o 6384 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  ->  (
z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
26 relxp 4923 . . . . . . . 8  |-  Rel  ( { j }  X.  C )
2726rgenw 2716 . . . . . . 7  |-  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
)
28 reliun 4935 . . . . . . 7  |-  ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
) )
2927, 28mpbir 201 . . . . . 6  |-  Rel  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)
30 relcnv 5182 . . . . . 6  |-  Rel  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
31 nfv 1626 . . . . . . . 8  |-  F/ k
ph
32 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
<. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
33 nfiu1 4063 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
3433nfcnv 4991 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
3534nfel2 2535 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
<. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
3632, 35nfbi 1846 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( <. x ,  y
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )
3731, 36nfim 1822 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  ->  ( <. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
38 opeq2 3927 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  y  ->  <. x ,  k >.  =  <. x ,  y >. )
3938eleq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  y  ->  ( <. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) ) )
4038eleq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  y  ->  ( <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
4139, 40bibi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  y  ->  (
( <. x ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) ) )
4241imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( k  =  y  ->  (
( ph  ->  ( <.
x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) ) ) )
43 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ j
ph
44 nfiu1 4063 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
4544nfel2 2535 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
<. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
46 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
<. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
4745, 46nfbi 1846 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( <. x ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )
4843, 47nfim 1822 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  ->  ( <. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
49 opeq1 3926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  x  ->  <. j ,  k >.  =  <. x ,  k >. )
5049eleq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  x  ->  ( <. j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) ) )
5149eleq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  x  ->  ( <. j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
5250, 51bibi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  x  ->  (
( <. j ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )  <->  ( <. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) ) )
5352imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  x  ->  (
( ph  ->  ( <.
j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( <.
x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) ) ) )
54 gsumcom2.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  <->  ( k  e.  D  /\  j  e.  E ) ) )
55 opeliunxp 4869 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
56 opeliunxp 4869 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
k ,  j >.  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  ( k  e.  D  /\  j  e.  E ) )
5754, 55, 563bitr4g 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( <. j ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. k ,  j >.  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
58 vex 2902 . . . . . . . . . 10  |-  j  e. 
_V
59 vex 2902 . . . . . . . . . 10  |-  k  e. 
_V
6058, 59opelcnv 4994 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  <. k ,  j >.  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
) )
6157, 60syl6bbr 255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( <. j ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6248, 53, 61chvar 2021 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6337, 42, 62chvar 2021 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6429, 30, 63eqrelrdv 4912 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  =  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )
65 f1oeq3 5607 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  =  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  ->  (
( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> `'
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6664, 65syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e. 
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> `'
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6725, 66mpbiri 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
681, 2, 3, 11, 16, 19, 67gsumf1o 15449 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  o.  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) ) ) )
69 sneq 3768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  { z }  =  { <. x ,  y >. } )
7069cnveqd 4988 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  `' { z }  =  `' { <. x ,  y >. } )
7170unieqd 3968 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  U. `' { z }  =  U. `' { <. x ,  y
>. } )
72 opswap 5296 . . . . . . . . 9  |-  U. `' { <. x ,  y
>. }  =  <. y ,  x >.
7371, 72syl6eq 2435 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  U. `' { z }  =  <. y ,  x >. )
7473fveq2d 5672 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 U. `' {
z } )  =  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  <. y ,  x >. ) )
75 df-ov 6023 . . . . . . 7  |-  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x )  =  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 <. y ,  x >. )
7674, 75syl6eqr 2437 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 U. `' {
z } )  =  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
7776mpt2mptx 6103 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ x  e.  D  ( { x }  X.  [_ x  / 
k ]_ E )  |->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  [_ x  / 
k ]_ E  |->  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
78 nfcv 2523 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( { k }  X.  E )
79 nfcv 2523 . . . . . . . 8  |-  F/_ k { x }
80 nfcsb1v 3226 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ E
8179, 80nfxp 4844 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( { x }  X.  [_ x  /  k ]_ E )
82 sneq 3768 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  { k }  =  { x } )
83 csbeq1a 3202 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  E  =  [_ x  /  k ]_ E )
8482, 83xpeq12d 4843 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  ( { k }  X.  E )  =  ( { x }  X.  [_ x  /  k ]_ E ) )
8578, 81, 84cbviun 4069 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  =  U_ x  e.  D  ( {
x }  X.  [_ x  /  k ]_ E
)
86 mpteq1 4230 . . . . . 6  |-  ( U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  =  U_ x  e.  D  ( { x }  X.  [_ x  /  k ]_ E )  ->  (
z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 U. `' {
z } ) )  =  ( z  e. 
U_ x  e.  D  ( { x }  X.  [_ x  /  k ]_ E )  |->  ( ( j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) ) )
8785, 86ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )  =  ( z  e.  U_ x  e.  D  ( { x }  X.  [_ x  / 
k ]_ E )  |->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )
88 nfcv 2523 . . . . . 6  |-  F/_ x E
89 nfcv 2523 . . . . . 6  |-  F/_ x
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )
90 nfcv 2523 . . . . . 6  |-  F/_ y
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )
91 nfcv 2523 . . . . . . 7  |-  F/_ k
y
92 nfmpt22 6080 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
93 nfcv 2523 . . . . . . 7  |-  F/_ k
x
9491, 92, 93nfov 6043 . . . . . 6  |-  F/_ k
( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x )
95 nfcv 2523 . . . . . . 7  |-  F/_ j
y
96 nfmpt21 6079 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
97 nfcv 2523 . . . . . . 7  |-  F/_ j
x
9895, 96, 97nfov 6043 . . . . . 6  |-  F/_ j
( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x )
99 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
100 oveq1 6027 . . . . . . 7  |-  ( j  =  y  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x )  =  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
10199, 100sylan9eq 2439 . . . . . 6  |-  ( ( k  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
10288, 80, 89, 90, 94, 98, 83, 101cbvmpt2x 6089 . . . . 5  |-  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  [_ x  / 
k ]_ E  |->  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
10377, 87, 1023eqtr4i 2417 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )  =  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
104 f1of 5614 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  (
z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) --> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) )
10567, 104syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -->
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
106 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  U. `' { z } )  =  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  U. `' { z } )
107106fmpt 5829 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  U_  k  e.  D  ( { k }  X.  E ) U. `' { z }  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  <->  ( z  e. 
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -->
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
108105, 107sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U_  k  e.  D  ( { k }  X.  E ) U. `' { z }  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
109 eqidd 2388 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } )  =  ( z  e. 
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) )
11016feqmptd 5718 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  =  ( x  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  |->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 x ) ) )
111 fveq2 5668 . . . . 5  |-  ( x  =  U. `' {
z }  ->  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  x
)  =  ( ( j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )
112108, 109, 110, 111fmptcof 5841 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  o.  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) )  =  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) ) )
11312ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  ->  X  e.  B ) )
11414ovmpt4g 6135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C  /\  X  e.  B )  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
1151143expia 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  ->  ( X  e.  B  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X ) )
116113, 115sylcom 27 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X ) )
11754, 116sylbird 227 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  D  /\  j  e.  E )  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X ) )
1181173impib 1151 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D  /\  j  e.  E
)  ->  ( j
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
119118eqcomd 2392 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D  /\  j  e.  E
)  ->  X  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
120119mpt2eq3dva 6077 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X )  =  ( k  e.  D , 
j  e.  E  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) ) )
121103, 112, 1203eqtr4a 2445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  o.  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) )  =  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X ) )
122121oveq2d 6036 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  o.  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X ) ) )
12368, 122eqtrd 2419 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   _Vcvv 2899   [_csb 3194   {csn 3757   <.cop 3760   U.cuni 3957   U_ciun 4035   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    X. cxp 4816   `'ccnv 4817    o. ccom 4822   Rel wrel 4823   -->wf 5390   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022   Fincfn 7045   Basecbs 13396   0gc0g 13650    gsumg cgsu 13651  CMndccmn 15339
This theorem is referenced by:  gsumcom  15478  gsumbagdiag  16368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-mnd 14617  df-cntz 15043  df-cmn 15341
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