Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumcom3 Structured version   Unicode version

Theorem gsumcom3 27431
Description: A commutative law for finitely supported iterated sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumcom3.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumcom3.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumcom3.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumcom3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumcom3.r  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
gsumcom3.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsumcom3.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsumcom3.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsumcom3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  C  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    C, j, k    j, G, k    U, j, k    j, V    .0. , j, k    ph, j,
k    k, W
Allowed substitution hints:    V( k)    W( j)    X( j, k)

Proof of Theorem gsumcom3
StepHypRef Expression
1 gsumcom3.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumcom3.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsumcom3.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsumcom3.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 gsumcom3.r . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
6 gsumcom3.f . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
7 gsumcom3.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
8 gsumcom3.n . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8gsumcom 15551 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  C ,  j  e.  A  |->  X ) ) )
105adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
111, 2, 3, 4, 10, 6, 7, 8gsum2d2 15548 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
124adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  A  e.  V )
136ancom2s 778 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  C  /\  j  e.  A ) )  ->  X  e.  B )
14 cnvfi 7390 . . . 4  |-  ( U  e.  Fin  ->  `' U  e.  Fin )
157, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  `' U  e.  Fin )
16 ancom 438 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  C  /\  j  e.  A )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C )
)
17 vex 2959 . . . . . . 7  |-  k  e. 
_V
18 vex 2959 . . . . . . 7  |-  j  e. 
_V
1917, 18brcnv 5055 . . . . . 6  |-  ( k `' U j  <->  j U
k )
2019notbii 288 . . . . 5  |-  ( -.  k `' U j  <->  -.  j U k )
2116, 20anbi12i 679 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  C  /\  j  e.  A
)  /\  -.  k `' U j )  <->  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )
2221, 8sylan2b 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  C  /\  j  e.  A )  /\  -.  k `' U
j ) )  ->  X  =  .0.  )
231, 2, 3, 5, 12, 13, 15, 22gsum2d2 15548 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  C ,  j  e.  A  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  X ) ) ) ) )
249, 11, 233eqtr3d 2476 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  C  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   Fincfn 7109   Basecbs 13469   0gc0g 13723    gsumg cgsu 13724  CMndccmn 15412
This theorem is referenced by:  gsumcom3fi  27432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414
  Copyright terms: Public domain W3C validator