Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumcom3 Unicode version

Theorem gsumcom3 27454
Description: A commutative law for finitely supported iterated sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumcom3.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumcom3.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumcom3.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumcom3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumcom3.r  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
gsumcom3.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsumcom3.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsumcom3.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsumcom3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  C  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    C, j, k    j, G, k    U, j, k    j, V    .0. , j, k    ph, j,
k    k, W
Allowed substitution hints:    V( k)    W( j)    X( j, k)

Proof of Theorem gsumcom3
StepHypRef Expression
1 gsumcom3.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumcom3.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsumcom3.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsumcom3.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 gsumcom3.r . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
6 gsumcom3.f . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
7 gsumcom3.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
8 gsumcom3.n . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8gsumcom 15228 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  C ,  j  e.  A  |->  X ) ) )
105adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
111, 2, 3, 4, 10, 6, 7, 8gsum2d2 15225 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
124adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  A  e.  V )
136ancom2s 777 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  C  /\  j  e.  A ) )  ->  X  e.  B )
14 cnvfi 7140 . . . 4  |-  ( U  e.  Fin  ->  `' U  e.  Fin )
157, 14syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  `' U  e.  Fin )
16 ancom 437 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  C  /\  j  e.  A )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C )
)
17 vex 2791 . . . . . . 7  |-  k  e. 
_V
18 vex 2791 . . . . . . 7  |-  j  e. 
_V
1917, 18brcnv 4864 . . . . . 6  |-  ( k `' U j  <->  j U
k )
2019notbii 287 . . . . 5  |-  ( -.  k `' U j  <->  -.  j U k )
2116, 20anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  C  /\  j  e.  A
)  /\  -.  k `' U j )  <->  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )
2221, 8sylan2b 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  C  /\  j  e.  A )  /\  -.  k `' U
j ) )  ->  X  =  .0.  )
231, 2, 3, 5, 12, 13, 15, 22gsum2d2 15225 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  C ,  j  e.  A  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  X ) ) ) ) )
249, 11, 233eqtr3d 2323 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  C  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Fincfn 6863   Basecbs 13148   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401  CMndccmn 15089
This theorem is referenced by:  gsumcom3fi  27455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091
  Copyright terms: Public domain W3C validator