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Theorem gsumconst 15534
Description: Sum of a constant series. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumconst.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumconst.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
gsumconst  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, X
Allowed substitution hint:    .x. ( k)

Proof of Theorem gsumconst
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 963 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  ->  X  e.  B )
2 gsumconst.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 gsumconst.m . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
52, 3, 4mulg0 14897 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  G ) )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( 0  .x.  X
)  =  ( 0g
`  G ) )
7 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( # `  A )  =  (
# `  (/) ) )
87adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( # `  A )  =  ( # `  (/) ) )
9 hash0 11648 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
108, 9syl6eq 2486 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( # `  A )  =  0 )
1110oveq1d 6098 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( ( # `  A
)  .x.  X )  =  ( 0  .x. 
X ) )
12 mpteq1 4291 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  (/)  |->  X ) )
1312adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  (/)  |->  X ) )
14 mpt0 5574 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  (/)  |->  X )  =  (/)
1513, 14syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  (/) )
1615oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
173gsum0 14782 . . . . 5  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
1816, 17syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( 0g `  G
) )
196, 11, 183eqtr4rd 2481 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
2019ex 425 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
) )
21 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( # `  A )  e.  NN )
22 nnuz 10523 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2321, 22syl6eleq 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( # `  A )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
24 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
25 simpl3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  B )
2625adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  X  e.  B )
27 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) 
|->  X )
2827fvmpt2 5814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  |->  X ) `  x )  =  X )
2924, 26, 28syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) `
 x )  =  X )
30 f1of 5676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
3130ad2antll 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
3231ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  A
)
3331feqmptd 5781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  ( f `
 x ) ) )
34 eqidd 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
35 eqidd 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  X  =  X )
3632, 33, 34, 35fmptco 5903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) )
3736fveq1d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) `  x )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  |->  X ) `  x ) )
3837adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
( k  e.  A  |->  X )  o.  f
) `  x )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) `
 x ) )
39 elfznn 11082 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  x  e.  NN )
40 fvconst2g 5947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  x )  =  X )
4125, 39, 40syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( ( NN  X.  { X }
) `  x )  =  X )
4229, 38, 413eqtr4d 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
( k  e.  A  |->  X )  o.  f
) `  x )  =  ( ( NN 
X.  { X }
) `  x )
)
4323, 42seqfveq 11349 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( # `
 A ) ) )
44 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
45 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
46 simpl1 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  G  e.  Mnd )
47 simpl2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  A  e.  Fin )
4825adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
49 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  A  |->  X )
5048, 49fmptd 5895 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X ) : A --> B )
51 eqidd 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( X ( +g  `  G ) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) )
522, 44, 45elcntzsn 15126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  B  ->  ( X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  <->  ( X  e.  B  /\  ( X ( +g  `  G
) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) ) ) )
5325, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  <-> 
( X  e.  B  /\  ( X ( +g  `  G ) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) ) ) )
5425, 51, 53mpbir2and 890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } ) )
5554snssd 3945 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  { X }  C_  (
(Cntz `  G ) `  { X } ) )
56 snidg 3841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  { X } )
5725, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  { X } )
5857adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  { X } )
5958, 49fmptd 5895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X ) : A --> { X } )
60 frn 5599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  A  |->  X ) : A --> { X }  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  { X }
)
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X )  C_  { X } )
6245cntzidss 15138 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  /\  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  { X }
)  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  A  |->  X ) ) )
6355, 61, 62syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  A  |->  X ) ) )
64 f1of1 5675 . . . . . . . 8  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) )
-1-1-> A )
6564ad2antll 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-> A )
66 cnvimass 5226 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( k  e.  A  |->  X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  dom  ( k  e.  A  |->  X )
6749dmmptss 5368 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
k  e.  A  |->  X )  C_  A
6866, 67sstri 3359 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( k  e.  A  |->  X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  A
69 f1ofo 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) )
-onto-> A )
70 forn 5658 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
7169, 70syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ran  f  =  A )
7271ad2antll 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  f  =  A
)
7368, 72syl5sseqr 3399 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `' ( k  e.  A  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  ran  f )
74 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( `' ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  =  ( `' ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )
752, 3, 44, 45, 46, 47, 50, 63, 21, 65, 73, 74gsumval3 15516 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )
76 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
772, 44, 4, 76mulgnn 14898 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( ( # `  A
)  .x.  X )  =  (  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( # `
 A ) ) )
7821, 25, 77syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( # `  A
)  .x.  X )  =  (  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( # `
 A ) ) )
7943, 75, 783eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
8079expr 600 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( (
# `  A )  .x.  X ) ) )
8180exlimdv 1647 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
) )
8281expimpd 588 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( (
# `  A )  .x.  X ) ) )
83 fz1f1o 12506 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
84833ad2ant2 980 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
8520, 82, 84mpjaod 372 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   ran crn 4881   "cima 4883    o. ccom 4884   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   -onto->wfo 5454   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   0cc0 8992   1c1 8993   NNcn 10002   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045    seq cseq 11325   #chash 11620   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   0gc0g 13725    gsumg cgsu 13726   Mndcmnd 14686  .gcmg 14691  Cntzccntz 15116
This theorem is referenced by:  gsumsn  15545  tmdgsum2  18128  amgmlem  20830  lgseisenlem4  21138  gsumsn2  24221  gsumconstf  24224
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mnd 14692  df-mulg 14817  df-cntz 15118
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