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Theorem gsumconst 15225
Description: Sum of a constant series. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumconst.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumconst.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
gsumconst  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, X
Allowed substitution hint:    .x. ( k)

Proof of Theorem gsumconst
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  ->  X  e.  B )
2 gsumconst.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 gsumconst.m . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
52, 3, 4mulg0 14588 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  G ) )
61, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( 0  .x.  X
)  =  ( 0g
`  G ) )
7 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( # `  A )  =  (
# `  (/) ) )
87adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( # `  A )  =  ( # `  (/) ) )
9 hash0 11371 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
108, 9syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( # `  A )  =  0 )
1110oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( ( # `  A
)  .x.  X )  =  ( 0  .x. 
X ) )
12 mpteq1 4116 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  (/)  |->  X ) )
1312adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  (/)  |->  X ) )
14 mpt0 5387 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  (/)  |->  X )  =  (/)
1513, 14syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  (/) )
1615oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
173gsum0 14473 . . . . 5  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
1816, 17syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( 0g `  G
) )
196, 11, 183eqtr4rd 2339 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
2019ex 423 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
) )
21 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( # `  A )  e.  NN )
22 nnuz 10279 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2321, 22syl6eleq 2386 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( # `  A )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
24 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
25 simpl3 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  B )
2625adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  X  e.  B )
27 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) 
|->  X )
2827fvmpt2 5624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  |->  X ) `  x )  =  X )
2924, 26, 28syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) `
 x )  =  X )
30 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
3130ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
32 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  x
)  e.  A )
3331, 32sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  A
)
3431feqmptd 5591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  ( f `
 x ) ) )
35 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
36 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  X  =  X )
3733, 34, 35, 36fmptco 5707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) )
3837fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) `  x )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  |->  X ) `  x ) )
3938adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
( k  e.  A  |->  X )  o.  f
) `  x )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) `
 x ) )
40 elfznn 10835 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  x  e.  NN )
41 fvconst2g 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  x )  =  X )
4225, 40, 41syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( ( NN  X.  { X }
) `  x )  =  X )
4329, 39, 423eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
( k  e.  A  |->  X )  o.  f
) `  x )  =  ( ( NN 
X.  { X }
) `  x )
)
4423, 43seqfveq 11086 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( # `
 A ) ) )
45 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
46 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
47 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  G  e.  Mnd )
48 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  A  e.  Fin )
4925adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
50 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  A  |->  X )
5149, 50fmptd 5700 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X ) : A --> B )
52 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( X ( +g  `  G ) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) )
532, 45, 46elcntzsn 14817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  B  ->  ( X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  <->  ( X  e.  B  /\  ( X ( +g  `  G
) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) ) ) )
5425, 53syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  <-> 
( X  e.  B  /\  ( X ( +g  `  G ) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) ) ) )
5525, 52, 54mpbir2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } ) )
5655snssd 3776 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  { X }  C_  (
(Cntz `  G ) `  { X } ) )
57 snidg 3678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  { X } )
5825, 57syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  { X } )
5958adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  { X } )
6059, 50fmptd 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X ) : A --> { X } )
61 frn 5411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  A  |->  X ) : A --> { X }  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  { X }
)
6260, 61syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X )  C_  { X } )
6346cntzidss 14829 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  /\  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  { X }
)  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  A  |->  X ) ) )
6456, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  A  |->  X ) ) )
65 f1of1 5487 . . . . . . . 8  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) )
-1-1-> A )
6665ad2antll 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-> A )
67 cnvimass 5049 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( k  e.  A  |->  X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  dom  ( k  e.  A  |->  X )
6850dmmptss 5185 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
k  e.  A  |->  X )  C_  A
6967, 68sstri 3201 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( k  e.  A  |->  X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  A
70 f1ofo 5495 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) )
-onto-> A )
71 forn 5470 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
7270, 71syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ran  f  =  A )
7372ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  f  =  A
)
7469, 73syl5sseqr 3240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `' ( k  e.  A  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  ran  f )
75 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( `' ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  =  ( `' ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )
762, 3, 45, 46, 47, 48, 51, 64, 21, 66, 74, 75gsumval3 15207 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )
77 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
782, 45, 4, 77mulgnn 14589 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( ( # `  A
)  .x.  X )  =  (  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( # `
 A ) ) )
7921, 25, 78syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( # `  A
)  .x.  X )  =  (  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( # `
 A ) ) )
8044, 76, 793eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
8180expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( (
# `  A )  .x.  X ) ) )
8281exlimdv 1626 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
) )
8382expimpd 586 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( (
# `  A )  .x.  X ) ) )
84 fz1f1o 12199 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
85843ad2ant2 977 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
8620, 83, 85mpjaod 370 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   0cc0 8753   1c1 8754   NNcn 9762   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    seq cseq 11062   #chash 11353   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417   Mndcmnd 14377  .gcmg 14382  Cntzccntz 14807
This theorem is referenced by:  gsumsn  15236  tmdgsum2  17795  amgmlem  20300  lgseisenlem4  20607  gsumsn2  23393  gsumconstf  23396
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-mulg 14508  df-cntz 14809
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