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Theorem gsumdixp 15392
Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdixp.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsumdixp.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
gsumdixp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsumdixp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumdixp.j  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
gsumdixp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsumdixp.x  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
gsumdixp.y  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
gsumdixp.xf  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
gsumdixp.yf  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumdixp  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y   
x, B, y    x, I, y    x, J, y   
x, R    x,  .x. , y    y, X    x, Y
Allowed substitution hints:    R( y)    V( x, y)    W( x, y)    X( x)    Y( y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem gsumdixp
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumdixp.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsumdixp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsumdixp.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 15371 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 gsumdixp.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
7 gsumdixp.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
87adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  J  e.  W )
93adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  R  e.  Ring )
10 gsumdixp.x . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
11 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  X )  =  ( x  e.  I  |->  X )
1210, 11fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
13 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  I  /\  j  e.  J )  ->  i  e.  I )
14 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  i  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B )
1512, 13, 14syl2an 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  e.  B
)
16 gsumdixp.y . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
17 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  J  |->  Y )  =  ( y  e.  J  |->  Y )
1816, 17fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
19 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  I  /\  j  e.  J )  ->  j  e.  J )
20 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  j  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B )
2118, 19, 20syl2an 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B
)
22 gsumdixp.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
231, 22rngcl 15354 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B  /\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  e.  B )
249, 15, 21, 23syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  e.  B )
25 gsumdixp.xf . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
26 gsumdixp.yf . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
27 xpfi 7128 . . . . 5  |-  ( ( ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )  ->  (
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e. 
Fin )
2825, 26, 27syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
29 ianor 474 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  /\  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  <->  ( -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  \/  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
30 brxp 4720 . . . . . . 7  |-  ( i ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) j  <->  ( i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  /\  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
3129, 30xchnxbir 300 . . . . . 6  |-  ( -.  i ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) j  <->  ( -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  \/  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
32 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
i  e.  I )
33 eldif 3162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
3433biimpri 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  i  e.  ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
3532, 34sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  i  e.  ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
3612adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
37 ssid 3197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
3837a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
3936, 38suppssr 5659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  i  e.  ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  i )  =  .0.  )
4035, 39syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  i )  =  .0.  )
4140oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  (  .0. 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) ) )
421, 22, 2rnglz 15377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  e.  B )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
439, 21, 42syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
(  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
4443adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
4541, 44eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
46 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
j  e.  J )
47 eldif 3162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( J  \ 
( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  ( j  e.  J  /\  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
4847biimpri 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  J  /\  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  j  e.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
4946, 48sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  j  e.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
5018adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
51 ssid 3197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
5251a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
5350, 52suppssr 5659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  j  e.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j )  =  .0.  )
5449, 53syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j )  =  .0.  )
5554oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  .0.  )
)
561, 22, 2rngrz 15378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
579, 15, 56syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
5857adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
5955, 58eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
6045, 59jaodan 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  ( -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  \/  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )  =  .0.  )
6131, 60sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i
( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) j )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
6261anasss 628 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
i  e.  I  /\  j  e.  J )  /\  -.  i ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) j ) )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )  =  .0.  )
631, 2, 5, 6, 8, 24, 28, 62gsum2d2 15225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) ) ) )
64 nfmpt1 4109 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  I  |->  X )
65 ax-17 1603 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  i  ->  A. x  k  e.  i )
6665nfcii 2410 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
i
6764, 66nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
68 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x  .x.
69 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
7067, 68, 69nfov 5881 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
71 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
72 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ y  .x.
73 nfmpt1 4109 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( y  e.  J  |->  Y )
74 ax-17 1603 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  j  ->  A. y 
k  e.  j )
7574nfcii 2410 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
j
7673, 75nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
7771, 72, 76nfov 5881 . . . . . 6  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
78 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
79 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ j
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
80 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x ) )
81 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( j  =  y  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
8280, 81oveqan12d 5877 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )
8370, 77, 78, 79, 82cbvmpt2 5925 . . . . 5  |-  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
84 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  x  e.  I )
85103adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  X  e.  B )
8611fvmpt2 5608 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  X  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
8784, 85, 86syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
88 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  J )
89163adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  Y  e.  B )
9017fvmpt2 5608 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  J  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
9188, 89, 90syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
9287, 91oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( X 
.x.  Y ) )
9392mpt2eq3dva 5912 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
9483, 93syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
9594oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )
96 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x R
97 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x  gsumg
98 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ x J
9998, 70nfmpt 4108 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
10096, 97, 99nfov 5881 . . . . . 6  |-  F/_ x
( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )
101 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ i
( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )
10280oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  x  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
103102mpteq2dv 4107 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )  =  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )
104 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )
105104, 72, 76nfov 5881 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
10681oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  y  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
107105, 79, 106cbvmpt 4110 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
108103, 107syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )
109108oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( i  =  x  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )
110100, 101, 109cbvmpt 4110 . . . . 5  |-  ( i  e.  I  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )
111923expa 1151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) )  =  ( X  .x.  Y ) )
112111mpteq2dva 4106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )
113112oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )
114113mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )
115110, 114syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )
116115oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) ) )
11763, 95, 1163eqtr3d 2323 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) ) )
118 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
1193adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
1207adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  J  e.  W )
12116adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
12226adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
1231, 2, 118, 22, 119, 120, 10, 121, 122gsummulc2 15391 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) )
124123mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) )
125124oveq2d 5874 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) ) )
1261, 2, 5, 7, 18, 26gsumcl 15198 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) )  e.  B )
1271, 2, 118, 22, 3, 6, 126, 10, 25gsummulc1 15390 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) )
128117, 125, 1273eqtrrd 2320 1  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Fincfn 6863   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401  CMndccmn 15089   Ringcrg 15337
This theorem is referenced by:  evlslem2  16249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342
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