Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumdixp Structured version   Unicode version

Theorem gsumdixp 15715
 Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdixp.b
gsumdixp.t
gsumdixp.z
gsumdixp.i
gsumdixp.j
gsumdixp.r
gsumdixp.x
gsumdixp.y
gsumdixp.xf
gsumdixp.yf
Assertion
Ref Expression
gsumdixp g g g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   , ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem gsumdixp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumdixp.b . . . 4
2 gsumdixp.z . . . 4
3 gsumdixp.r . . . . 5
4 rngcmn 15694 . . . . 5 CMnd
53, 4syl 16 . . . 4 CMnd
6 gsumdixp.i . . . 4
7 gsumdixp.j . . . . 5
87adantr 452 . . . 4
93adantr 452 . . . . 5
10 gsumdixp.x . . . . . . 7
11 eqid 2436 . . . . . . 7
1210, 11fmptd 5893 . . . . . 6
13 simpl 444 . . . . . 6
14 ffvelrn 5868 . . . . . 6
1512, 13, 14syl2an 464 . . . . 5
16 gsumdixp.y . . . . . . 7
17 eqid 2436 . . . . . . 7
1816, 17fmptd 5893 . . . . . 6
19 simpr 448 . . . . . 6
20 ffvelrn 5868 . . . . . 6
2118, 19, 20syl2an 464 . . . . 5
22 gsumdixp.t . . . . . 6
231, 22rngcl 15677 . . . . 5
249, 15, 21, 23syl3anc 1184 . . . 4
25 gsumdixp.xf . . . . 5
26 gsumdixp.yf . . . . 5
27 xpfi 7378 . . . . 5
2825, 26, 27syl2anc 643 . . . 4
29 ianor 475 . . . . . . 7
30 brxp 4909 . . . . . . 7
3129, 30xchnxbir 301 . . . . . 6
32 simprl 733 . . . . . . . . . . 11
33 eldif 3330 . . . . . . . . . . . 12
3433biimpri 198 . . . . . . . . . . 11
3532, 34sylan 458 . . . . . . . . . 10
3612adantr 452 . . . . . . . . . . 11
37 ssid 3367 . . . . . . . . . . . 12
3837a1i 11 . . . . . . . . . . 11
3936, 38suppssr 5864 . . . . . . . . . 10
4035, 39syldan 457 . . . . . . . . 9
4140oveq1d 6096 . . . . . . . 8
421, 22, 2rnglz 15700 . . . . . . . . . 10
439, 21, 42syl2anc 643 . . . . . . . . 9
4443adantr 452 . . . . . . . 8
4541, 44eqtrd 2468 . . . . . . 7
46 simprr 734 . . . . . . . . . . 11
47 eldif 3330 . . . . . . . . . . . 12
4847biimpri 198 . . . . . . . . . . 11
4946, 48sylan 458 . . . . . . . . . 10
5018adantr 452 . . . . . . . . . . 11
51 ssid 3367 . . . . . . . . . . . 12
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11
5350, 52suppssr 5864 . . . . . . . . . 10
5449, 53syldan 457 . . . . . . . . 9
5554oveq2d 6097 . . . . . . . 8
561, 22, 2rngrz 15701 . . . . . . . . . 10
579, 15, 56syl2anc 643 . . . . . . . . 9
5857adantr 452 . . . . . . . 8
5955, 58eqtrd 2468 . . . . . . 7
6045, 59jaodan 761 . . . . . 6
6131, 60sylan2b 462 . . . . 5
6261anasss 629 . . . 4
631, 2, 5, 6, 8, 24, 28, 62gsum2d2 15548 . . 3 g g g
64 nffvmpt1 5736 . . . . . . 7
65 nfcv 2572 . . . . . . 7
66 nfcv 2572 . . . . . . 7
6764, 65, 66nfov 6104 . . . . . 6
68 nfcv 2572 . . . . . . 7
69 nfcv 2572 . . . . . . 7
70 nffvmpt1 5736 . . . . . . 7
7168, 69, 70nfov 6104 . . . . . 6
72 nfcv 2572 . . . . . 6
73 nfcv 2572 . . . . . 6
74 fveq2 5728 . . . . . . 7
75 fveq2 5728 . . . . . . 7
7674, 75oveqan12d 6100 . . . . . 6
7767, 71, 72, 73, 76cbvmpt2 6151 . . . . 5
78 simp2 958 . . . . . . . 8
79103adant3 977 . . . . . . . 8
8011fvmpt2 5812 . . . . . . . 8
8178, 79, 80syl2anc 643 . . . . . . 7
82 simp3 959 . . . . . . . 8
83163adant2 976 . . . . . . . 8
8417fvmpt2 5812 . . . . . . . 8
8582, 83, 84syl2anc 643 . . . . . . 7
8681, 85oveq12d 6099 . . . . . 6
8786mpt2eq3dva 6138 . . . . 5
8877, 87syl5eq 2480 . . . 4
8988oveq2d 6097 . . 3 g g
90 nfcv 2572 . . . . . . 7
91 nfcv 2572 . . . . . . 7 g
92 nfcv 2572 . . . . . . . 8
9392, 67nfmpt 4297 . . . . . . 7
9490, 91, 93nfov 6104 . . . . . 6 g
95 nfcv 2572 . . . . . 6 g
9674oveq1d 6096 . . . . . . . . 9
9796mpteq2dv 4296 . . . . . . . 8
98 nfcv 2572 . . . . . . . . . 10
9998, 69, 70nfov 6104 . . . . . . . . 9
10075oveq2d 6097 . . . . . . . . 9
10199, 73, 100cbvmpt 4299 . . . . . . . 8
10297, 101syl6eq 2484 . . . . . . 7
103102oveq2d 6097 . . . . . 6 g g
10494, 95, 103cbvmpt 4299 . . . . 5 g g
105863expa 1153 . . . . . . . 8
106105mpteq2dva 4295 . . . . . . 7
107106oveq2d 6097 . . . . . 6 g g
108107mpteq2dva 4295 . . . . 5 g g
109104, 108syl5eq 2480 . . . 4 g g
110109oveq2d 6097 . . 3 g g g g
11163, 89, 1103eqtr3d 2476 . 2 g g g
112 eqid 2436 . . . . 5
1133adantr 452 . . . . 5
1147adantr 452 . . . . 5
11516adantlr 696 . . . . 5
11626adantr 452 . . . . 5
1171, 2, 112, 22, 113, 114, 10, 115, 116gsummulc2 15714 . . . 4 g g
118117mpteq2dva 4295 . . 3 g g
119118oveq2d 6097 . 2 g g g g
1201, 2, 5, 7, 18, 26gsumcl 15521 . . 3 g
1211, 2, 112, 22, 3, 6, 120, 10, 25gsummulc1 15713 . 2 g g g g
122111, 119, 1213eqtrrd 2473 1 g g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  csn 3814   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cxp 4876  ccnv 4877  cima 4881  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  cfn 7109  cbs 13469   cplusg 13529  cmulr 13530  c0g 13723   g cgsu 13724  CMndccmn 15412  crg 15660 This theorem is referenced by:  evlslem2  16568 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mulg 14815  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665
 Copyright terms: Public domain W3C validator