MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumf1o Unicode version

Theorem gsumf1o 15481
Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumcl.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumcl.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
gsumf1o.h  |-  ( ph  ->  H : C -1-1-onto-> A )
Assertion
Ref Expression
gsumf1o  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( F  o.  H
) ) )

Proof of Theorem gsumf1o
StepHypRef Expression
1 gsumcl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumcl.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2408 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
4 gsumcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 cmnmnd 15386 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
7 gsumcl.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 gsumcl.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
91, 3, 4, 8cntzcmnf 15474 . 2  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
10 gsumcl.w . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
11 gsumf1o.h . 2  |-  ( ph  ->  H : C -1-1-onto-> A )
121, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11gsumzf1o 15478 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( F  o.  H
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2920    \ cdif 3281   {csn 3778   `'ccnv 4840   "cima 4844    o. ccom 4845   -->wf 5413   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Fincfn 7072   Basecbs 13428   0gc0g 13682    gsumg cgsu 13683   Mndcmnd 14643  Cntzccntz 15073  CMndccmn 15371
This theorem is referenced by:  gsum2d  15505  gsumcom2  15508  psrass1lem  16401  psrcom  16431  psropprmul  16591  coe1mul2  16621  ply1coe  16643  tsmsf1o  18131  lgseisenlem3  21092
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-oi 7439  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-seq 11283  df-hash 11578  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-mnd 14649  df-cntz 15075  df-cmn 15373
  Copyright terms: Public domain W3C validator