Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumfsum Structured version   Unicode version

Theorem gsumfsum 16756
 Description: Relate a group sum on ℂfld to a finite sum on the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumfsum.1
gsumfsum.2
Assertion
Ref Expression
gsumfsum fld g
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem gsumfsum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 4281 . . . . . . 7
2 mpt0 5564 . . . . . . 7
31, 2syl6eq 2483 . . . . . 6
43oveq2d 6089 . . . . 5 fld g fld g
5 cnfld0 16715 . . . . . . 7 fld
65gsum0 14770 . . . . . 6 fld g
7 sum0 12505 . . . . . 6
86, 7eqtr4i 2458 . . . . 5 fld g
94, 8syl6eq 2483 . . . 4 fld g
10 sumeq1 12473 . . . 4
119, 10eqtr4d 2470 . . 3 fld g
1211a1i 11 . 2 fld g
13 cnfldbas 16697 . . . . . . 7 fld
14 cnfldadd 16698 . . . . . . 7 fld
15 eqid 2435 . . . . . . 7 Cntzfld Cntzfld
16 cnrng 16713 . . . . . . . 8 fld
17 rngmnd 15663 . . . . . . . 8 fld fld
1816, 17mp1i 12 . . . . . . 7 fld
19 gsumfsum.1 . . . . . . . 8
2019adantr 452 . . . . . . 7
21 gsumfsum.2 . . . . . . . . 9
22 eqid 2435 . . . . . . . . 9
2321, 22fmptd 5885 . . . . . . . 8
2423adantr 452 . . . . . . 7
25 rngcmn 15684 . . . . . . . . 9 fld fld CMnd
2616, 25mp1i 12 . . . . . . . 8 fld CMnd
2713, 15, 26, 24cntzcmnf 15505 . . . . . . 7 Cntzfld
28 simprl 733 . . . . . . 7
29 simprr 734 . . . . . . . 8
30 f1of1 5665 . . . . . . . 8
3129, 30syl 16 . . . . . . 7
32 cnvimass 5216 . . . . . . . . 9
33 fdm 5587 . . . . . . . . . 10
3424, 33syl 16 . . . . . . . . 9
3532, 34syl5sseq 3388 . . . . . . . 8
36 f1ofo 5673 . . . . . . . . 9
37 forn 5648 . . . . . . . . 9
3829, 36, 373syl 19 . . . . . . . 8
3935, 38sseqtr4d 3377 . . . . . . 7
40 eqid 2435 . . . . . . 7
4113, 5, 14, 15, 18, 20, 24, 27, 28, 31, 39, 40gsumval3 15504 . . . . . 6 fld g
42 sumfc 12493 . . . . . . 7
43 fveq2 5720 . . . . . . . 8
4424ffvelrnda 5862 . . . . . . . 8
45 f1of 5666 . . . . . . . . . 10
4629, 45syl 16 . . . . . . . . 9
47 fvco3 5792 . . . . . . . . 9
4846, 47sylan 458 . . . . . . . 8
4943, 28, 29, 44, 48fsum 12504 . . . . . . 7
5042, 49syl5eqr 2481 . . . . . 6
5141, 50eqtr4d 2470 . . . . 5 fld g
5251expr 599 . . . 4 fld g
5352exlimdv 1646 . . 3 fld g
5453expimpd 587 . 2 fld g
55 fz1f1o 12494 . . 3
5619, 55syl 16 . 2
5712, 54, 56mpjaod 371 1 fld g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   cdif 3309  c0 3620  csn 3806   cmpt 4258  ccnv 4869   cdm 4870   crn 4871  cima 4873   ccom 4874  wf 5442  wf1 5443  wfo 5444  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  cc 8978  cc0 8980  c1 8981   caddc 8983  cn 9990  cfz 11033   cseq 11313  chash 11608  csu 12469   g cgsu 13714  cmnd 14674  Cntzccntz 15104  CMndccmn 15402  crg 15650  ℂfldccnfld 16693 This theorem is referenced by:  plypf1  20121  taylpfval  20271  jensen  20817  amgmlem  20818  lgseisenlem4  21126  esumpfinval  24455  esumpfinvalf  24456  esumpcvgval  24458  esumcvg  24466 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-rp 10603  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-sum 12470  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-cring 15654  df-ur 15655  df-cnfld 16694
 Copyright terms: Public domain W3C validator