Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumfsum Unicode version

Theorem gsumfsum 16439
 Description: Relate a group sum on ℂfld to a finite sum on the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumfsum.1
gsumfsum.2
Assertion
Ref Expression
gsumfsum fld g
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem gsumfsum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 4100 . . . . . . 7
2 mpt0 5371 . . . . . . 7
31, 2syl6eq 2331 . . . . . 6
43oveq2d 5874 . . . . 5 fld g fld g
5 cnfld0 16398 . . . . . . 7 fld
65gsum0 14457 . . . . . 6 fld g
7 sum0 12194 . . . . . 6
86, 7eqtr4i 2306 . . . . 5 fld g
94, 8syl6eq 2331 . . . 4 fld g
10 sumeq1 12162 . . . 4
119, 10eqtr4d 2318 . . 3 fld g
1211a1i 10 . 2 fld g
13 cnfldbas 16383 . . . . . . 7 fld
14 cnfldadd 16384 . . . . . . 7 fld
15 eqid 2283 . . . . . . 7 Cntzfld Cntzfld
16 cnrng 16396 . . . . . . . 8 fld
17 rngmnd 15350 . . . . . . . 8 fld fld
1816, 17mp1i 11 . . . . . . 7 fld
19 gsumfsum.1 . . . . . . . 8
2019adantr 451 . . . . . . 7
21 gsumfsum.2 . . . . . . . . 9
22 eqid 2283 . . . . . . . . 9
2321, 22fmptd 5684 . . . . . . . 8
2423adantr 451 . . . . . . 7
25 rngcmn 15371 . . . . . . . . 9 fld fld CMnd
2616, 25mp1i 11 . . . . . . . 8 fld CMnd
2713, 15, 26, 24cntzcmnf 15192 . . . . . . 7 Cntzfld
28 simprl 732 . . . . . . 7
29 simprr 733 . . . . . . . 8
30 f1of1 5471 . . . . . . . 8
3129, 30syl 15 . . . . . . 7
32 cnvimass 5033 . . . . . . . . 9
33 fdm 5393 . . . . . . . . . 10
3424, 33syl 15 . . . . . . . . 9
3532, 34syl5sseq 3226 . . . . . . . 8
36 f1ofo 5479 . . . . . . . . 9
37 forn 5454 . . . . . . . . 9
3829, 36, 373syl 18 . . . . . . . 8
3935, 38sseqtr4d 3215 . . . . . . 7
40 eqid 2283 . . . . . . 7
4113, 5, 14, 15, 18, 20, 24, 27, 28, 31, 39, 40gsumval3 15191 . . . . . 6 fld g
42 sumfc 12182 . . . . . . 7
43 fveq2 5525 . . . . . . . 8
44 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
4524, 44sylan 457 . . . . . . . 8
46 f1of 5472 . . . . . . . . . 10
4729, 46syl 15 . . . . . . . . 9
48 fvco3 5596 . . . . . . . . 9
4947, 48sylan 457 . . . . . . . 8
5043, 28, 29, 45, 49fsum 12193 . . . . . . 7
5142, 50syl5eqr 2329 . . . . . 6
5241, 51eqtr4d 2318 . . . . 5 fld g
5352expr 598 . . . 4 fld g
5453exlimdv 1664 . . 3 fld g
5554expimpd 586 . 2 fld g
56 fz1f1o 12183 . . 3
5719, 56syl 15 . 2
5812, 55, 57mpjaod 370 1 fld g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 357   wa 358  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   cdif 3149  c0 3455  csn 3640   cmpt 4077  ccnv 4688   cdm 4689   crn 4690  cima 4692   ccom 4693  wf 5251  wf1 5252  wfo 5253  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858  cfn 6863  cc 8735  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740  cn 9746  cfz 10782   cseq 11046  chash 11337  csu 12158   g cgsu 13401  cmnd 14361  Cntzccntz 14791  CMndccmn 15089  crg 15337  ℂfldccnfld 16377 This theorem is referenced by:  plypf1  19594  taylpfval  19744  jensen  20283  amgmlem  20284  lgseisenlem4  20591  esumpfinval  23443  esumpfinvalf  23444  esumpcvgval  23446  esumcvg  23454 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-cnfld 16378
 Copyright terms: Public domain W3C validator