MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummhm Unicode version

Theorem gsummhm 15421
Description: Apply a group homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummhm.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummhm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummhm.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummhm.h  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
gsummhm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummhm.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G MndHom  H ) )
gsummhm.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsummhm.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsummhm  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( K  o.  F
) )  =  ( K `  ( G 
gsumg  F ) ) )

Proof of Theorem gsummhm
StepHypRef Expression
1 gsummhm.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2366 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
3 gsummhm.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 cmnmnd 15314 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
53, 4syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
6 gsummhm.h . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
7 gsummhm.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 gsummhm.k . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G MndHom  H ) )
9 gsummhm.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
101, 2, 3, 9cntzcmnf 15402 . 2  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
11 gsummhm.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
12 gsummhm.w . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
131, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12gsumzmhm 15420 1  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( K  o.  F
) )  =  ( K `  ( G 
gsumg  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   _Vcvv 2873    \ cdif 3235   {csn 3729   `'ccnv 4791   "cima 4795    o. ccom 4796   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Fincfn 7006   Basecbs 13356   0gc0g 13610    gsumg cgsu 13611   Mndcmnd 14571   MndHom cmhm 14623  Cntzccntz 15001  CMndccmn 15299
This theorem is referenced by:  gsummhm2  15422  gsuminv  15428  evlslem2  16459  tsmsmhm  18041  plypf1  19809  amgmlem  20506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-hash 11506  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-mnd 14577  df-mhm 14625  df-cntz 15003  df-cmn 15301
  Copyright terms: Public domain W3C validator