MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummhm Structured version   Unicode version

Theorem gsummhm 15534
Description: Apply a group homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummhm.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummhm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummhm.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummhm.h  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
gsummhm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummhm.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G MndHom  H ) )
gsummhm.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsummhm.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsummhm  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( K  o.  F
) )  =  ( K `  ( G 
gsumg  F ) ) )

Proof of Theorem gsummhm
StepHypRef Expression
1 gsummhm.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2436 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
3 gsummhm.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 cmnmnd 15427 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
6 gsummhm.h . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
7 gsummhm.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 gsummhm.k . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G MndHom  H ) )
9 gsummhm.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
101, 2, 3, 9cntzcmnf 15515 . 2  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
11 gsummhm.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
12 gsummhm.w . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
131, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12gsumzmhm 15533 1  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( K  o.  F
) )  =  ( K `  ( G 
gsumg  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    \ cdif 3317   {csn 3814   `'ccnv 4877   "cima 4881    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   Basecbs 13469   0gc0g 13723    gsumg cgsu 13724   Mndcmnd 14684   MndHom cmhm 14736  Cntzccntz 15114  CMndccmn 15412
This theorem is referenced by:  gsummhm2  15535  gsuminv  15541  evlslem2  16568  tsmsmhm  18175  plypf1  20131  amgmlem  20828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-cntz 15116  df-cmn 15414
  Copyright terms: Public domain W3C validator