MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummulc1 Unicode version

Theorem gsummulc1 15406
Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummulc1.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsummulc1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsummulc1.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
gsummulc1.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
gsummulc1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsummulc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummulc1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsummulc1.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsummulc1.n  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
gsummulc1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    .x. , k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    R( k)    V( k)    X( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsummulc1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummulc1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsummulc1.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsummulc1.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 15387 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 rngmnd 15366 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
73, 6syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
8 gsummulc1.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsummulc1.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
10 gsummulc1.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
111, 10rngrghm 15405 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R ) )
123, 9, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y
) )  e.  ( R  GrpHom  R ) )
13 ghmmhm 14709 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y
) )  e.  ( R MndHom  R ) )
15 gsummulc1.x . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
16 gsummulc1.n . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
17 oveq1 5881 . 2  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .x.  Y )  =  ( X  .x.  Y ) )
18 oveq1 5881 . 2  |-  ( x  =  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  ->  ( x  .x.  Y )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
191, 2, 5, 7, 8, 14, 15, 16, 17, 18gsummhm2 15228 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   {csn 3653    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417   Mndcmnd 14377   MndHom cmhm 14429    GrpHom cghm 14696  CMndccmn 15105   Ringcrg 15353
This theorem is referenced by:  gsumdixp  15408  psrass1  16166  mamuass  27563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358
  Copyright terms: Public domain W3C validator