MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummulc1 Structured version   Unicode version

Theorem gsummulc1 15705
Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummulc1.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsummulc1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsummulc1.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
gsummulc1.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
gsummulc1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsummulc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummulc1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsummulc1.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsummulc1.n  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
gsummulc1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    .x. , k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    R( k)    V( k)    X( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsummulc1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummulc1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsummulc1.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsummulc1.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 15686 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 rngmnd 15665 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
73, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
8 gsummulc1.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsummulc1.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
10 gsummulc1.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
111, 10rngrghm 15704 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R ) )
123, 9, 11syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y
) )  e.  ( R  GrpHom  R ) )
13 ghmmhm 15008 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y
) )  e.  ( R MndHom  R ) )
15 gsummulc1.x . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
16 gsummulc1.n . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
17 oveq1 6080 . 2  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .x.  Y )  =  ( X  .x.  Y ) )
18 oveq1 6080 . 2  |-  ( x  =  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  ->  ( x  .x.  Y )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
191, 2, 5, 7, 8, 14, 15, 16, 17, 18gsummhm2 15527 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    \ cdif 3309   {csn 3806    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   0gc0g 13715    gsumg cgsu 13716   Mndcmnd 14676   MndHom cmhm 14728    GrpHom cghm 14995  CMndccmn 15404   Ringcrg 15652
This theorem is referenced by:  gsumdixp  15707  psrass1  16461  mamuass  27428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657
  Copyright terms: Public domain W3C validator