MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummulc1 Unicode version

Theorem gsummulc1 15641
Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummulc1.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsummulc1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsummulc1.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
gsummulc1.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
gsummulc1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsummulc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummulc1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsummulc1.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsummulc1.n  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
gsummulc1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    .x. , k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    R( k)    V( k)    X( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsummulc1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummulc1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsummulc1.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsummulc1.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 15622 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 rngmnd 15601 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
73, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
8 gsummulc1.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsummulc1.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
10 gsummulc1.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
111, 10rngrghm 15640 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R ) )
123, 9, 11syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y
) )  e.  ( R  GrpHom  R ) )
13 ghmmhm 14944 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y
) )  e.  ( R MndHom  R ) )
15 gsummulc1.x . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
16 gsummulc1.n . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
17 oveq1 6028 . 2  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .x.  Y )  =  ( X  .x.  Y ) )
18 oveq1 6028 . 2  |-  ( x  =  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  ->  ( x  .x.  Y )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
191, 2, 5, 7, 8, 14, 15, 16, 17, 18gsummhm2 15463 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    \ cdif 3261   {csn 3758    e. cmpt 4208   `'ccnv 4818   "cima 4822   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Fincfn 7046   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   .rcmulr 13458   0gc0g 13651    gsumg cgsu 13652   Mndcmnd 14612   MndHom cmhm 14664    GrpHom cghm 14931  CMndccmn 15340   Ringcrg 15588
This theorem is referenced by:  gsumdixp  15643  psrass1  16397  mamuass  27130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-plusg 13470  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-ghm 14932  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593
  Copyright terms: Public domain W3C validator