Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumpropd Structured version   Unicode version

Theorem gsumpropd 14768
 Description: The group sum depends only on the base set and additive operation. Note that for entirely unrestricted functions, there can be dependency on out-of-domain values of the operation, so this is somewhat weaker than mndpropd 14713 etc. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpropd.f
gsumpropd.g
gsumpropd.h
gsumpropd.b
gsumpropd.p
Assertion
Ref Expression
gsumpropd g g

Proof of Theorem gsumpropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumpropd.b . . . . 5
2 gsumpropd.p . . . . . . . . 9
32oveqd 6090 . . . . . . . 8
43eqeq1d 2443 . . . . . . 7
52oveqd 6090 . . . . . . . 8
65eqeq1d 2443 . . . . . . 7
74, 6anbi12d 692 . . . . . 6
81, 7raleqbidv 2908 . . . . 5
91, 8rabeqbidv 2943 . . . 4
109sseq2d 3368 . . 3
11 eqidd 2436 . . . 4
122proplem3 13908 . . . 4
1311, 1, 12grpidpropd 14714 . . 3
142seqeq2d 11322 . . . . . . . . . 10
1514fveq1d 5722 . . . . . . . . 9
1615eqeq2d 2446 . . . . . . . 8
1716anbi2d 685 . . . . . . 7
1817rexbidv 2718 . . . . . 6
1918exbidv 1636 . . . . 5
2019iotabidv 5431 . . . 4
219difeq2d 3457 . . . . . . . . . . . 12
2221imaeq2d 5195 . . . . . . . . . . 11
2322fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
2423oveq2d 6089 . . . . . . . . 9
25 f1oeq2 5658 . . . . . . . . 9
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8
27 f1oeq3 5659 . . . . . . . . 9
2822, 27syl 16 . . . . . . . 8
2926, 28bitrd 245 . . . . . . 7
302seqeq2d 11322 . . . . . . . . 9
3130, 23fveq12d 5726 . . . . . . . 8
3231eqeq2d 2446 . . . . . . 7
3329, 32anbi12d 692 . . . . . 6
3433exbidv 1636 . . . . 5
3534iotabidv 5431 . . . 4
3620, 35ifeq12d 3747 . . 3
3710, 13, 36ifbieq12d 3753 . 2
38 eqid 2435 . . 3
39 eqid 2435 . . 3
40 eqid 2435 . . 3
41 eqid 2435 . . 3
42 eqidd 2436 . . 3
43 gsumpropd.g . . 3
44 gsumpropd.f . . 3
45 eqidd 2436 . . 3
4638, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45gsumvalx 14766 . 2 g
47 eqid 2435 . . 3
48 eqid 2435 . . 3
49 eqid 2435 . . 3
50 eqid 2435 . . 3
51 eqidd 2436 . . 3
52 gsumpropd.h . . 3
5347, 48, 49, 50, 51, 52, 44, 45gsumvalx 14766 . 2 g
5437, 46, 533eqtr4d 2477 1 g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309   wss 3312  cif 3731  ccnv 4869   cdm 4870   crn 4871  cima 4873   ccom 4874  cio 5408  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1 8983  cuz 10480  cfz 11035   cseq 11315  chash 11610  cbs 13461   cplusg 13521  c0g 13715   g cgsu 13716 This theorem is referenced by:  psropprmul  16624  ply1coe  16676  tsmspropd  18153  frlmgsum  27200 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-seq 11316  df-0g 13719  df-gsum 13720
 Copyright terms: Public domain W3C validator