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Theorem gsumpropd2lem 23381
Description: Lemma for gsumpropd2 23382 (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpropd2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
gsumpropd2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
gsumpropd2.h  |-  ( ph  ->  H  e.  X )
gsumpropd2.b  |-  ( ph  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  H ) )
gsumpropd2.c  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  e.  ( Base `  G
) )
gsumpropd2.e  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  =  ( s ( +g  `  H ) t ) )
gsumpropd2.n  |-  ( ph  ->  Fun  F )
gsumpropd2.r  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Base `  G ) )
gsumprop2dlem.1  |-  A  =  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) )
gsumprop2dlem.2  |-  B  =  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) )
Assertion
Ref Expression
gsumpropd2lem  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( H  gsumg  F ) )
Distinct variable groups:    t, s, F    G, s, t    H, s, t    ph, s, t
Allowed substitution hints:    A( t, s)    B( t, s)    V( t, s)    W( t, s)    X( t, s)

Proof of Theorem gsumpropd2lem
Dummy variables  a 
b  f  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumpropd2.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  H ) )
21adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( Base `  G )  =  (
Base `  H )
)
3 gsumpropd2.e . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  =  ( s ( +g  `  H ) t ) )
43eqeq1d 2293 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
( s ( +g  `  G ) t )  =  t  <->  ( s
( +g  `  H ) t )  =  t ) )
53proplem 13594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  G
)  /\  b  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  =  ( a ( +g  `  H ) b ) )
65proplem 13594 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  G
)  /\  s  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
t ( +g  `  G
) s )  =  ( t ( +g  `  H ) s ) )
76ancom2s 777 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
t ( +g  `  G
) s )  =  ( t ( +g  `  H ) s ) )
87eqeq1d 2293 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
( t ( +g  `  G ) s )  =  t  <->  ( t
( +g  `  H ) s )  =  t ) )
94, 8anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t )  <->  ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) ) )
109anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t )  <->  ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) ) )
112, 10raleqbidva 2752 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t )  <->  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) ) )
121, 11rabeqbidva 2786 . . . 4  |-  ( ph  ->  { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) }  =  {
s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } )
1312sseq2d 3208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) }  <->  ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) )
14 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1514a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  G ) )
1615, 1, 3grpidpropd 14401 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  =  ( 0g
`  H ) )
17 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)
18 gsumpropd2.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Base `  G ) )
1918ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  ran  F  C_  ( Base `  G )
)
20 gsumpropd2.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Fun  F )
2120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  Fun  F )
22 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  s  e.  ( m ... n
) )
23 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  dom  F  =  ( m ... n
) )
2422, 23eleqtrrd 2362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  s  e.  dom  F )
25 fvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  s  e.  dom  F )  -> 
( F `  s
)  e.  ran  F
)
2621, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  ( F `  s )  e.  ran  F )
2719, 26sseldd 3183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  ( F `  s )  e.  (
Base `  G )
)
28 gsumpropd2.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  e.  ( Base `  G
) )
2928adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  e.  ( Base `  G
) )
303adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  =  ( s ( +g  `  H ) t ) )
3117, 27, 29, 30seqfeq4 11097 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  ->  (  seq  m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )  =  (  seq  m ( ( +g  `  H
) ,  F ) `
 n ) )
3231eqeq2d 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  ->  (
x  =  (  seq  m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )  <->  x  =  (  seq  m
( ( +g  `  H
) ,  F ) `
 n ) ) )
3332anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  /\  dom  F  =  ( m ... n
) )  ->  (
x  =  (  seq  m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )  <->  x  =  (  seq  m
( ( +g  `  H
) ,  F ) `
 n ) ) )
3433pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( ( dom  F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )
)  <->  ( dom  F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  H
) ,  F ) `
 n ) ) ) )
3534rexbidva 2562 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  G ) ,  F ) `  n ) )  <->  E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) )
3635exbidv 1614 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( dom 
F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )
)  <->  E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) )
3736iotabidv 5242 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota x E. m E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) ( dom  F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  G ) ,  F ) `  n ) ) )  =  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) )
3812difeq2d 3296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } )  =  ( _V  \  { s  e.  (
Base `  H )  |  A. t  e.  (
Base `  H )
( ( s ( +g  `  H ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H ) s )  =  t ) } ) )
3938imaeq2d 5014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) )  =  ( `' F " ( _V 
\  { s  e.  ( Base `  H
)  |  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) ) )
40 gsumprop2dlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  =  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) )
41 gsumprop2dlem.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) )
4239, 40, 413eqtr4g 2342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =  B )
4342fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
4443fveq2d 5531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) )
4544adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
46 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( # `  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
4718ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ran  F  C_  ( Base `  G )
)
48 f1ofun 5476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  Fun  f )
4948ad3antlr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  Fun  f )
50 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
51 f1odm 5478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
5251ad3antlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
5343oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 A ) )  =  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
5453ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  =  ( 1 ... ( # `  B ) ) )
5552, 54eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
5650, 55eleqtrrd 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  a  e.  dom  f )
57 fvco 5597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  f  /\  a  e.  dom  f )  -> 
( ( F  o.  f ) `  a
)  =  ( F `
 ( f `  a ) ) )
5849, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  a )  =  ( F `  ( f `
 a ) ) )
5920ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  Fun  F )
60 difpreima 5655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( _V  \  { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) )  =  ( ( `' F " _V )  \  ( `' F " { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) ) )
6120, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) )  =  ( ( `' F " _V )  \  ( `' F " { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) ) )
6240, 61syl5eq 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( `' F " _V )  \  ( `' F " { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) ) )
63 difss 3305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' F " _V )  \  ( `' F " { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) ) 
C_  ( `' F " _V )
6462, 63syl6eqss 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  C_  ( `' F " _V ) )
65 dfdm4 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  F  =  ran  `' F
66 dfrn4 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ran  `' F  =  ( `' F " _V )
6765, 66eqtri 2305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  F  =  ( `' F " _V )
6864, 67syl6sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
6968ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  A  C_  dom  F )
70 f1of 5474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
7170ad3antlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
7256, 52eleqtrd 2361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
73 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  a
)  e.  A )
7471, 72, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( f `  a )  e.  A
)
7569, 74sseldd 3183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( f `  a )  e.  dom  F )
76 fvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  (
f `  a )  e.  dom  F )  -> 
( F `  (
f `  a )
)  e.  ran  F
)
7759, 75, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( F `  ( f `  a
) )  e.  ran  F )
7858, 77eqeltrd 2359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  a )  e.  ran  F )
7947, 78sseldd 3183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  a )  e.  (
Base `  G )
)
80 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ph )
8128caovclg 6014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  G
)  /\  b  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  e.  ( Base `  G
) )
8280, 81sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  ( a  e.  ( Base `  G
)  /\  b  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  e.  ( Base `  G
) )
8380, 5sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  ( a  e.  ( Base `  G
)  /\  b  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  =  ( a ( +g  `  H ) b ) )
8446, 79, 82, 83seqfeq4 11097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
85 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
86 1z 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
87 seqfn 11060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 ) )
88 fndm 5345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 )  ->  dom  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  =  ( ZZ>= ` 
1 ) )
8986, 87, 88mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  =  ( ZZ>= ` 
1 )
9089eleq2i 2349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  B )  e.  dom  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) )  <-> 
( # `  B )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
9190notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( # `  B
)  e.  dom  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  <->  -.  ( # `  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
9285, 91sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  -.  ( # `
 B )  e. 
dom  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) )
93 ndmfv 5554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( # `  B
)  e.  dom  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  ->  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (/) )
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (/) )
95 seqfn 11060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 ) )
96 fndm 5345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 )  ->  dom  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  =  ( ZZ>= ` 
1 ) )
9786, 95, 96mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  =  ( ZZ>= ` 
1 )
9897eleq2i 2349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  B )  e.  dom  seq  1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) )  <-> 
( # `  B )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
9998notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( # `  B
)  e.  dom  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  <->  -.  ( # `  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
10085, 99sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  -.  ( # `
 B )  e. 
dom  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) )
101 ndmfv 5554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( # `  B
)  e.  dom  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  ->  (  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (/) )
102100, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (/) )
10394, 102eqtr4d 2320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
104103adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  -.  ( # `  B )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
10584, 104pm2.61dan 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
10645, 105eqtrd 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
107106eqeq2d 2296 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( x  =  (  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  <->  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) )
108107pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )  <->  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) ) ) )
109 f1oeq2 5466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( # `  A ) )  =  ( 1 ... ( # `
 B ) )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  <-> 
f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> A ) )
11053, 109syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> A ) )
111 f1oeq3 5467 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  (
f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> A  <->  f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )
11242, 111syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )
113110, 112bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )
114113anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) )  <->  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) ) ) )
115108, 114bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )  <->  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) ) ) )
116115exbidv 1614 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) )
117116iotabidv 5242 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )  =  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) )
11837, 117ifeq12d 3583 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( dom  F  e.  ran  ... ,  ( iota
x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( dom 
F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )
) ) ,  ( iota x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) ) )  =  if ( dom  F  e. 
ran  ... ,  ( iota
x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( dom 
F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  H ) ,  F
) `  n )
) ) ,  ( iota x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) ) )
11913, 16, 118ifbieq12d 3589 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ran  F  C_ 
{ s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ,  ( 0g `  G ) ,  if ( dom 
F  e.  ran  ... ,  ( iota x E. m E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) ( dom  F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  G ) ,  F ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) ) ) )  =  if ( ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  H
)  |  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } , 
( 0g `  H
) ,  if ( dom  F  e.  ran  ...
,  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) ) ) )
120 eqid 2285 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
121 eqid 2285 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
122 eqid 2285 . . 3  |-  { s  e.  ( Base `  G
)  |  A. t  e.  ( Base `  G
) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) }  =  { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) }
12340a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( `' F " ( _V 
\  { s  e.  ( Base `  G
)  |  A. t  e.  ( Base `  G
) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) ) )
124 gsumpropd2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
125 gsumpropd2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
126 eqidd 2286 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  F  =  dom  F )
12714, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126gsumvalx 14453 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  if ( ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } , 
( 0g `  G
) ,  if ( dom  F  e.  ran  ...
,  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  G ) ,  F ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) ) ) ) )
128 eqid 2285 . . 3  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
129 eqid 2285 . . 3  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
130 eqid 2285 . . 3  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
131 eqid 2285 . . 3  |-  { s  e.  ( Base `  H
)  |  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) }  =  { s  e.  (
Base `  H )  |  A. t  e.  (
Base `  H )
( ( s ( +g  `  H ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H ) s )  =  t ) }
13241a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( `' F " ( _V 
\  { s  e.  ( Base `  H
)  |  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) ) )
133 gsumpropd2.h . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  X )
134128, 129, 130, 131, 132, 133, 125, 126gsumvalx 14453 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  F )  =  if ( ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } , 
( 0g `  H
) ,  if ( dom  F  e.  ran  ...
,  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq  m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq  1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) ) ) )
135119, 127, 1343eqtr4d 2327 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( H  gsumg  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1530    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   {crab 2549   _Vcvv 2790    \ cdif 3151    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ifcif 3567   `'ccnv 4690   dom cdm 4691   ran crn 4692   "cima 4694    o. ccom 4695   iotacio 5219   Fun wfun 5251    Fn wfn 5252   -->wf 5253   -1-1-onto->wf1o 5256   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   1c1 8740   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   ...cfz 10784    seq cseq 11048   #chash 11339   Basecbs 13150   +g cplusg 13210   0gc0g 13402    gsumg cgsu 13403
This theorem is referenced by:  gsumpropd2  23382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-fz 10785  df-seq 11049  df-0g 13406  df-gsum 13407
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