Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumpt Unicode version

Theorem gsumpt 15222
 Description: Sum of a family that is nonzero at at most one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpt.b
gsumpt.z
gsumpt.g
gsumpt.a
gsumpt.x
gsumpt.f
gsumpt.s
Assertion
Ref Expression
gsumpt g

Proof of Theorem gsumpt
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumpt.f . . . 4
2 gsumpt.x . . . . 5
32snssd 3760 . . . 4
41, 3feqresmpt 5576 . . 3
54oveq2d 5874 . 2 g g
6 gsumpt.b . . 3
7 gsumpt.z . . 3
8 eqid 2283 . . 3 Cntz Cntz
9 gsumpt.g . . 3
10 gsumpt.a . . 3
11 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
121, 2, 11syl2anc 642 . . . . . . . 8
13 eqidd 2284 . . . . . . . 8
14 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
156, 14, 8elcntzsn 14801 . . . . . . . . 9 Cntz
1612, 15syl 15 . . . . . . . 8 Cntz
1712, 13, 16mpbir2and 888 . . . . . . 7 Cntz
1817snssd 3760 . . . . . 6 Cntz
19 eqid 2283 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
20 eqid 2283 . . . . . . 7 s mrClsSubMnd s mrClsSubMnd
218, 19, 20cntzspan 15137 . . . . . 6 Cntz s mrClsSubMnd CMnd
229, 18, 21syl2anc 642 . . . . 5 s mrClsSubMnd CMnd
236submacs 14442 . . . . . . . 8 SubMnd ACS
24 acsmre 13554 . . . . . . . 8 SubMnd ACS SubMnd Moore
259, 23, 243syl 18 . . . . . . 7 SubMnd Moore
2612snssd 3760 . . . . . . 7
2719mrccl 13513 . . . . . . 7 SubMnd Moore mrClsSubMnd SubMnd
2825, 26, 27syl2anc 642 . . . . . 6 mrClsSubMnd SubMnd
2920, 8submcmn2 15135 . . . . . 6 mrClsSubMnd SubMnd s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd CntzmrClsSubMnd
3028, 29syl 15 . . . . 5 s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd CntzmrClsSubMnd
3122, 30mpbid 201 . . . 4 mrClsSubMnd CntzmrClsSubMnd
32 ffn 5389 . . . . . . 7
331, 32syl 15 . . . . . 6
34 simpr 447 . . . . . . . . . 10
3534fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
3619mrcssid 13519 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd Moore mrClsSubMnd
3725, 26, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd
38 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12
3938snss 3748 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
4037, 39sylibr 203 . . . . . . . . . 10 mrClsSubMnd
4140ad2antrr 706 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd
4235, 41eqeltrd 2357 . . . . . . . 8 mrClsSubMnd
43 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . 11
44 gsumpt.s . . . . . . . . . . . 12
451, 44suppssr 5659 . . . . . . . . . . 11
4643, 45sylan2br 462 . . . . . . . . . 10
477subm0cl 14429 . . . . . . . . . . . 12 mrClsSubMnd SubMnd mrClsSubMnd
4828, 47syl 15 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd
4948adantr 451 . . . . . . . . . 10 mrClsSubMnd
5046, 49eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd
5150anassrs 629 . . . . . . . 8 mrClsSubMnd
5242, 51pm2.61dane 2524 . . . . . . 7 mrClsSubMnd
5352ralrimiva 2626 . . . . . 6 mrClsSubMnd
54 ffnfv 5685 . . . . . 6 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
5533, 53, 54sylanbrc 645 . . . . 5 mrClsSubMnd
56 frn 5395 . . . . 5 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
5755, 56syl 15 . . . 4 mrClsSubMnd
588cntzidss 14813 . . . 4 mrClsSubMnd CntzmrClsSubMnd mrClsSubMnd Cntz
5931, 57, 58syl2anc 642 . . 3 Cntz
60 snfi 6941 . . . 4
61 ssfi 7083 . . . 4
6260, 44, 61sylancr 644 . . 3
636, 7, 8, 9, 10, 1, 59, 44, 62gsumzres 15194 . 2 g g
64 fveq2 5525 . . . 4
656, 64gsumsn 15220 . . 3 g
669, 2, 12, 65syl3anc 1182 . 2 g
675, 63, 663eqtr3d 2323 1 g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  cvv 2788   cdif 3149   wss 3152  csn 3640   cmpt 4077  ccnv 4688   crn 4690   cres 4691  cima 4692   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cfn 6863  cbs 13148   ↾s cress 13149   cplusg 13208  c0g 13400   g cgsu 13401  Moorecmre 13484  mrClscmrc 13485  ACScacs 13487  cmnd 14361  SubMndcsubmnd 14414  Cntzccntz 14791  CMndccmn 15089 This theorem is referenced by:  dprdfid  15252  coe1tmmul2  16352  coe1tmmul  16353  evlslem3  19398  evlslem1  19399  coe1mul3  19485  tayl0  19741  jensen  20283  uvcresum  27242  frlmup2  27251  mamulid  27458  mamurid  27459 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091
 Copyright terms: Public domain W3C validator