MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumres Structured version   Unicode version

Theorem gsumres 15521
Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumcl.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumres.s  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
gsumres.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumres  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  W ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )

Proof of Theorem gsumres
StepHypRef Expression
1 gsumcl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumcl.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2437 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
4 gsumcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 cmnmnd 15428 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
7 gsumcl.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 gsumcl.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
91, 3, 4, 8cntzcmnf 15516 . 2  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
10 gsumres.s . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
11 gsumres.w . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
121, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11gsumzres 15518 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  W ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957    \ cdif 3318    C_ wss 3321   {csn 3815   `'ccnv 4878    |` cres 4881   "cima 4882   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Fincfn 7110   Basecbs 13470   0gc0g 13724    gsumg cgsu 13725   Mndcmnd 14685  Cntzccntz 15115  CMndccmn 15413
This theorem is referenced by:  gsum2d  15547  psrlidm  16468  psrridm  16469  mplmonmul  16528  mplcoe1  16529  mplcoe2  16531  tsmsgsum  18169  tsmsres  18174  plypf1  20132
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-hash 11620  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-mnd 14691  df-cntz 15117  df-cmn 15415
  Copyright terms: Public domain W3C validator