Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumress Structured version   Unicode version

Theorem gsumress 14770
 Description: The group sum in a substructure is the same as the group sum in the original structure. The only requirement on the substructure is that it contain the identity element; neither nor need be groups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumress.b
gsumress.o
gsumress.h s
gsumress.g
gsumress.a
gsumress.s
gsumress.f
gsumress.z
gsumress.c
Assertion
Ref Expression
gsumress g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem gsumress
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumress.s . . . . . . . . 9
2 gsumress.z . . . . . . . . 9
31, 2sseldd 3342 . . . . . . . 8
4 gsumress.c . . . . . . . . 9
54ralrimiva 2782 . . . . . . . 8
6 oveq1 6081 . . . . . . . . . . . 12
76eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . 11
8 oveq2 6082 . . . . . . . . . . . 12
98eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . 11
107, 9anbi12d 692 . . . . . . . . . 10
1110ralbidv 2718 . . . . . . . . 9
1211elrab 3085 . . . . . . . 8
133, 5, 12sylanbrc 646 . . . . . . 7
1413snssd 3936 . . . . . 6
15 gsumress.g . . . . . . . 8
16 gsumress.b . . . . . . . . 9
17 eqid 2436 . . . . . . . . 9
18 gsumress.o . . . . . . . . 9
19 eqid 2436 . . . . . . . . 9
2016, 17, 18, 19gsumvallem1 14764 . . . . . . . 8
2115, 20syl 16 . . . . . . 7
2221, 13sseldd 3342 . . . . . . . . 9
23 elsni 3831 . . . . . . . . 9
2422, 23syl 16 . . . . . . . 8
2524sneqd 3820 . . . . . . 7
2621, 25sseqtr4d 3378 . . . . . 6
2714, 26eqssd 3358 . . . . 5
281sselda 3341 . . . . . . . . . . 11
2928, 4syldan 457 . . . . . . . . . 10
3029ralrimiva 2782 . . . . . . . . 9
3110ralbidv 2718 . . . . . . . . . 10
3231elrab 3085 . . . . . . . . 9
332, 30, 32sylanbrc 646 . . . . . . . 8
34 gsumress.h . . . . . . . . . . 11 s
3534, 16ressbas2 13513 . . . . . . . . . 10
361, 35syl 16 . . . . . . . . 9
37 fvex 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15
3836, 37syl6eqel 2524 . . . . . . . . . . . . . 14
3934, 18ressplusg 13564 . . . . . . . . . . . . . 14
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4140oveqd 6091 . . . . . . . . . . . 12
4241eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . 11
4340oveqd 6091 . . . . . . . . . . . 12
4443eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . 11
4542, 44anbi12d 692 . . . . . . . . . 10
4636, 45raleqbidv 2909 . . . . . . . . 9
4736, 46rabeqbidv 2944 . . . . . . . 8
4833, 47eleqtrd 2512 . . . . . . 7
4948snssd 3936 . . . . . 6
50 ovex 6099 . . . . . . . . . 10 s
5134, 50eqeltri 2506 . . . . . . . . 9
5251a1i 11 . . . . . . . 8
53 eqid 2436 . . . . . . . . 9
54 eqid 2436 . . . . . . . . 9
55 eqid 2436 . . . . . . . . 9
56 eqid 2436 . . . . . . . . 9
5753, 54, 55, 56gsumvallem1 14764 . . . . . . . 8
5852, 57syl 16 . . . . . . 7
5958, 48sseldd 3342 . . . . . . . . 9
60 elsni 3831 . . . . . . . . 9
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8
6261sneqd 3820 . . . . . . 7
6358, 62sseqtr4d 3378 . . . . . 6
6449, 63eqssd 3358 . . . . 5
6527, 64eqtr3d 2470 . . . 4
6665sseq2d 3369 . . 3
6724, 61eqtr3d 2470 . . 3
6840seqeq2d 11323 . . . . . . . . . 10
6968fveq1d 5723 . . . . . . . . 9
7069eqeq2d 2447 . . . . . . . 8
7170anbi2d 685 . . . . . . 7
7271rexbidv 2719 . . . . . 6
7372exbidv 1636 . . . . 5
7473iotabidv 5432 . . . 4
7540seqeq2d 11323 . . . . . . . . 9
7675fveq1d 5723 . . . . . . . 8
7776eqeq2d 2447 . . . . . . 7
7877anbi2d 685 . . . . . 6
7978exbidv 1636 . . . . 5
8079iotabidv 5432 . . . 4
8174, 80ifeq12d 3748 . . 3
8266, 67, 81ifbieq12d 3754 . 2
8327difeq2d 3458 . . . 4
8483imaeq2d 5196 . . 3
85 gsumress.a . . 3
86 gsumress.f . . . 4
87 fss 5592 . . . 4
8886, 1, 87syl2anc 643 . . 3
8916, 17, 18, 19, 84, 15, 85, 88gsumval 14768 . 2 g
9064difeq2d 3458 . . . 4
9190imaeq2d 5196 . . 3
92 feq3 5571 . . . . 5
9336, 92syl 16 . . . 4
9486, 93mpbid 202 . . 3
9553, 54, 55, 56, 91, 52, 85, 94gsumval 14768 . 2 g
9682, 89, 953eqtr4d 2478 1 g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  wral 2698  wrex 2699  crab 2702  cvv 2949   cdif 3310   wss 3313  cif 3732  csn 3807  ccnv 4870   crn 4872  cima 4874   ccom 4875  cio 5409  wf 5443  wf1o 5446  cfv 5447  (class class class)co 6074  c1 8984  cuz 10481  cfz 11036   cseq 11316  chash 11611  cbs 13462   ↾s cress 13463   cplusg 13522  c0g 13716   g cgsu 13717 This theorem is referenced by:  gsumsubm  14771  imasdsf1olem  18396  esumpfinvallem  24457  frlmgsum  27201 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-seq 11317  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-0g 13720  df-gsum 13721
 Copyright terms: Public domain W3C validator