MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsn Unicode version

Theorem gsumsn 15220
Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumsn.s  |-  ( k  =  M  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
gsumsn  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Distinct variable groups:    B, k    C, k    k, G    k, M
Allowed substitution hints:    A( k)    V( k)

Proof of Theorem gsumsn
StepHypRef Expression
1 elsni 3664 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
2 gsumsn.s . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  A  =  C )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( k  e.  { M }  ->  A  =  C )
43mpteq2ia 4102 . . . 4  |-  ( k  e.  { M }  |->  A )  =  ( k  e.  { M }  |->  C )
54oveq2i 5869 . . 3  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )
6 snfi 6941 . . . . 5  |-  { M }  e.  Fin
7 gsumsn.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
97, 8gsumconst 15209 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  { M }  e.  Fin  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( ( # `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
106, 9mp3an2 1265 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
11103adant2 974 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
125, 11syl5eq 2327 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
13 hashsng 11356 . . . 4  |-  ( M  e.  V  ->  ( # `
 { M }
)  =  1 )
14133ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( # `  { M } )  =  1 )
1514oveq1d 5873 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( ( # `  { M } ) (.g `  G
) C )  =  ( 1 (.g `  G
) C ) )
167, 8mulg1 14574 . . 3  |-  ( C  e.  B  ->  (
1 (.g `  G ) C )  =  C )
17163ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( 1 (.g `  G
) C )  =  C )
1812, 15, 173eqtrd 2319 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   1c1 8738   #chash 11337   Basecbs 13148    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361  .gcmg 14366
This theorem is referenced by:  gsumunsn  15221  gsumpt  15222  dpjidcl  15293  psrlidm  16148  psrridm  16149  mplmonmul  16208  ply1coe  16368  tmdgsum  17778  tsmsxplem1  17835  tsmsxplem2  17836  imasdsf1olem  17937  tdeglem4  19446  tdeglem2  19447  amgm  20285  wilthlem2  20307  islindf4  27308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-mulg 14492  df-cntz 14793
  Copyright terms: Public domain W3C validator