Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumspl Structured version   Unicode version

Theorem gsumspl 14820
 Description: The primary purpose of the splice construction is to enable local rewrites. Thus, in any monoidal valuation, if a splice does not cause a local change it does not cause a global change. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumspl.b
gsumspl.m
gsumspl.s Word
gsumspl.f
gsumspl.t
gsumspl.x Word
gsumspl.y Word
gsumspl.eq g g
Assertion
Ref Expression
gsumspl g splice g splice

Proof of Theorem gsumspl
StepHypRef Expression
1 gsumspl.eq . . . 4 g g
21oveq2d 6126 . . 3 g substr g g substr g
32oveq1d 6125 . 2 g substr g g substr g substr g g substr
4 gsumspl.s . . . . 5 Word
5 gsumspl.f . . . . 5
6 gsumspl.t . . . . 5
7 gsumspl.x . . . . 5 Word
8 splval 11811 . . . . 5 Word Word splice substr concat concat substr
94, 5, 6, 7, 8syl13anc 1187 . . . 4 splice substr concat concat substr
109oveq2d 6126 . . 3 g splice g substr concat concat substr
11 gsumspl.m . . . 4
12 swrdcl 11797 . . . . . 6 Word substr Word
134, 12syl 16 . . . . 5 substr Word
14 ccatcl 11774 . . . . 5 substr Word Word substr concat Word
1513, 7, 14syl2anc 644 . . . 4 substr concat Word
16 swrdcl 11797 . . . . 5 Word substr Word
174, 16syl 16 . . . 4 substr Word
18 gsumspl.b . . . . 5
19 eqid 2442 . . . . 5
2018, 19gsumccat 14818 . . . 4 substr concat Word substr Word g substr concat concat substr g substr concat g substr
2111, 15, 17, 20syl3anc 1185 . . 3 g substr concat concat substr g substr concat g substr
2218, 19gsumccat 14818 . . . . 5 substr Word Word g substr concat g substr g
2311, 13, 7, 22syl3anc 1185 . . . 4 g substr concat g substr g
2423oveq1d 6125 . . 3 g substr concat g substr g substr g g substr
2510, 21, 243eqtrd 2478 . 2 g splice g substr g g substr
26 gsumspl.y . . . . 5 Word
27 splval 11811 . . . . 5 Word Word splice substr concat concat substr
284, 5, 6, 26, 27syl13anc 1187 . . . 4 splice substr concat concat substr
2928oveq2d 6126 . . 3 g splice g substr concat concat substr
30 ccatcl 11774 . . . . 5 substr Word Word substr concat Word
3113, 26, 30syl2anc 644 . . . 4 substr concat Word
3218, 19gsumccat 14818 . . . 4 substr concat Word substr Word g substr concat concat substr g substr concat g substr
3311, 31, 17, 32syl3anc 1185 . . 3 g substr concat concat substr g substr concat g substr
3418, 19gsumccat 14818 . . . . 5 substr Word Word g substr concat g substr g
3511, 13, 26, 34syl3anc 1185 . . . 4 g substr concat g substr g
3635oveq1d 6125 . . 3 g substr concat g substr g substr g g substr
3729, 33, 363eqtrd 2478 . 2 g splice g substr g g substr
383, 25, 373eqtr4d 2484 1 g splice g splice
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1653   wcel 1727  cop 3841  cotp 3842  cfv 5483  (class class class)co 6110  cc0 9021  cfz 11074  chash 11649  Word cword 11748   concat cconcat 11749   substr csubstr 11751   splice csplice 11752  cbs 13500   cplusg 13560   g cgsu 13755  cmnd 14715 This theorem is referenced by:  psgnunilem2  27433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-ot 3848  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-hash 11650  df-word 11754  df-concat 11755  df-substr 11757  df-splice 11758  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-mnd 14721  df-submnd 14770
 Copyright terms: Public domain W3C validator