MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsplit Unicode version

Theorem gsumsplit 15485
Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsplit.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumsplit.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumsplit.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumsplit.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumsplit.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumsplit.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumsplit.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
gsumsplit.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
gsumsplit.u  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  D ) )
Assertion
Ref Expression
gsumsplit  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  C ) )  .+  ( G 
gsumg  ( F  |`  D ) ) ) )

Proof of Theorem gsumsplit
StepHypRef Expression
1 gsumsplit.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumsplit.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsumsplit.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2404 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
5 gsumsplit.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
6 cmnmnd 15382 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
8 gsumsplit.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsumsplit.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
101, 4, 5, 9cntzcmnf 15470 . 2  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
11 gsumsplit.w . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
12 gsumsplit.i . 2  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
13 gsumsplit.u . 2  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  D ) )
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13gsumzsplit 15484 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  C ) )  .+  ( G 
gsumg  ( F  |`  D ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279   (/)c0 3588   {csn 3774   `'ccnv 4836    |` cres 4839   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678    gsumg cgsu 13679   Mndcmnd 14639  Cntzccntz 15069  CMndccmn 15367
This theorem is referenced by:  gsumsplit2  15486  gsum2d  15501  tmdgsum  18078  xrge0gsumle  18817  amgm  20782  wilthlem2  20805  gsumesum  24404  islindf4  27176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-cntz 15071  df-cmn 15369
  Copyright terms: Public domain W3C validator